# 微分と平均値の定理｜微分可能性・ロルの定理・ロピタルの定理

> 導関数の定義と微分可能性、積・商・合成関数の微分公式、ロルの定理・平均値の定理・コーシーの平均値の定理、ロピタルの定理の条件を解説。不等式の証明や不定形の極限の計算例と典型的な誤りも載せています。

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- 科目: [微分積分](https://inshihub.com/basics/calculus)（大学基礎課程の数学・物理・化学・生物・情報）
- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [極限と連続性](https://inshihub.com/basics/calculus/limits-continuity)

関数 $f$ が $a$ で微分可能とは、極限 $f'(a) = \lim_{h \to 0} \{f(a + h) - f(a)\}/h$ が有限の値で存在することをいう。微分可能なら連続だが、連続でも微分可能とは限らない。閉区間で連続、開区間で微分可能な $f$ には、平均の傾きに等しい接線の傾きをもつ点がある（平均値の定理）。この定理から、不等式の証明、単調性の判定、不定形の極限を求めるロピタルの定理が出る。

## 導関数と微分可能性の定義

### 定義：微分係数と導関数

$f$ を $a$ を含む開区間で定義された関数とする。極限

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

が有限の値で存在するとき、$f$ は $a$ で微分可能といい、$f'(a)$ を微分係数という。開区間の各点で微分可能なとき、$x \mapsto f'(x)$ を導関数という。$f'$ がさらに連続なら、$f$ は $C^1$ 級という。

### 定理・法則：微分可能なら連続

条件：

$f$ が $a$ で微分可能。

主張：

$f$ は $a$ で連続である。逆は成り立たない。

要点：

$f(a + h) - f(a) = h \cdot \{f(a + h) - f(a)\}/h \to 0 \cdot f'(a) = 0$ から出る。$f(x) = |x|$ は $0$ で連続だが、右からの極限 $1$ と左からの極限 $-1$ が異なるので微分可能でない。

## 微分の公式

### 演算の公式

- 積

  $$(fg)' = f'g + fg'$$

- 商

  $$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \quad (g \neq 0)$$

- 合成関数

  $$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\, g'(x)$$

  $g$ が $x$ で、$f$ が $g(x)$ で微分可能なときに成り立つ。

- 逆関数

  $$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx} \quad \left(\frac{dy}{dx} \neq 0\right)$$

  $y = f(x)$ が狭義単調で微分可能、$f'(x) \neq 0$ の点で成り立つ。

### よく使う導関数

- べき・指数・対数

  $$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}, \quad (e^x)' = e^x, \quad (\log |x|)' = \frac{1}{x}$$

- 三角関数

  $$(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$$

- 逆三角関数

  $$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \ (|x| < 1), \qquad (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$$

### 計算例：対数微分法

$y = x^x$（$x > 0$）を微分せよ。

解答：

両辺の対数をとると $\log y = x \log x$。両辺を $x$ で微分すると

$$\frac{y'}{y} = \log x + 1 \quad \text{より} \quad y' = x^x(\log x + 1)$$

検算：

$x^x = e^{x \log x}$ と書き直して合成関数の微分を使うと、$e^{x \log x}(\log x + 1)$ で一致する。$x = 1$ で $y' = 1$、$x = 1/e$ で $y' = 0$（最小値をとる点）。

## ロルの定理と平均値の定理

### 定理・法則：ロルの定理

条件：

$f$ は $[a, b]$ で連続、$(a, b)$ で微分可能で、$f(a) = f(b)$。

主張：

$f'(c) = 0$ となる $c \in (a, b)$ が存在する。

要点：

最大値・最小値の定理から、$f$ は $[a, b]$ のどこかで最大か最小をとる。それが内部の点 $c$ なら $f'(c) = 0$。$(a, b)$ のどこかで微分可能でないと成り立たない。$f(x) = |x|$ は $[-1, 1]$ で $f(-1) = f(1)$ だが、$f'(c) = 0$ となる点はない。

### 定理・法則：平均値の定理

条件：

$f$ は $[a, b]$ で連続、$(a, b)$ で微分可能。

主張：

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$

となる $c \in (a, b)$ が存在する。$c = a + \theta(b - a)$（$0 < \theta < 1$）とも書く。

要点：

$g(x) = f(x) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ にロルの定理を使う。区間で $f' > 0$ なら狭義単調増加、$f' = 0$ なら定数であることはこの定理から出る。

### 定理・法則：コーシーの平均値の定理

条件：

$f, g$ は $[a, b]$ で連続、$(a, b)$ で微分可能で、$(a, b)$ で $g'(x) \neq 0$。

主張：

$$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$

となる $c \in (a, b)$ が存在する。

要点：

$f$ と $g$ に別々に平均値の定理を使うと、$c$ が一般に異なるので比をとれない。$h(x) = \{f(b) - f(a)\}g(x) - \{g(b) - g(a)\}f(x)$ にロルの定理を使う。

### 計算例：平均値の定理で不等式を示す

$0 < a < b$ のとき $\dfrac{b - a}{b} < \log b - \log a < \dfrac{b - a}{a}$ を示せ。

解答：

$f(x) = \log x$ は $[a, b]$ で連続、$(a, b)$ で微分可能なので、平均値の定理から

$$\log b - \log a = \frac{b - a}{c}, \qquad a < c < b$$

となる $c$ がある。$\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{a}$ に $b - a > 0$ を掛ければ示す不等式になる。

検算：

$a = 1$、$b = 2$ で $0.5 < \log 2 \approx 0.693 < 1$。$a = 1$、$b = 3/2$ で $1/3 < \log 1.5 \approx 0.405 < 1/2$。

## ロピタルの定理の条件と使い方

### 定理・法則：ロピタルの定理

条件：

$f, g$ は $a$ を除く $a$ の近くで微分可能で $g'(x) \neq 0$。さらに $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$（または $\lim_{x \to a} |g(x)| = \infty$）で、$\lim_{x \to a} f'(x)/g'(x)$ が存在する（$\pm\infty$ でもよい）。

主張：

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

$a$ が $\pm\infty$ や片側極限の場合も同じ形で成り立つ。

要点：

コーシーの平均値の定理から示す。$f'/g'$ の極限が存在しないときは何も言えない。$\lim_{x \to \infty} (x + \sin x)/x = 1$ だが、$f'/g' = 1 + \cos x$ は極限をもたない。

### 計算例：ロピタルの定理を繰り返し使う

$\lim_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^3}$ を求めよ。

解答：

分子・分母とも $0$ に近づくので、各段階で $0/0$ 形であることを確かめながら3回使う。

$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6}$$

最後は $\sin x / x \to 1$ を使った。

検算：

テイラー展開 $\sin x = x - x^3/6 + O(x^5)$ を代入すると $(x - \sin x)/x^3 = 1/6 + O(x^2)$ で一致する。

### 計算例：微分可能だが導関数が連続でない例

$f(x) = x^2 \sin(1/x)$（$x \neq 0$）、$f(0) = 0$ について、$f'(0)$ と $\lim_{x \to 0} f'(x)$ を調べよ。

解答：

定義から $f'(0) = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h) = 0$（はさみうち）。$x \neq 0$ では

$$f'(x) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$$

で、第1項は $0$ に収束するが第2項は振動するので $\lim_{x \to 0} f'(x)$ は存在しない。$f$ は全域で微分可能だが $C^1$ 級でない。

検算：

この $f$ で $f'(0)$ を「$\lim_{x \to 0} f'(x)$」から求めようとすると、極限が存在せず答えが出ない。微分係数は定義の差分商で求める。

## 答案でよくある誤り

1. 連続であることから微分可能だと結論する。$|x|$ のように連続でも微分可能でない点がある。左右の差分商の極限が一致するかを確かめる。
2. ロピタルの定理を $0/0$ や $\infty/\infty$ でない形に使う。$\lim_{x \to 0} (\cos x)/x$ に使うと誤った値になる。使う前に不定形であることを毎回確かめる。
3. ロピタルの定理で分数を商の微分公式で微分する。分子と分母をそれぞれ微分して $f'/g'$ をとる。
4. $f'/g'$ の極限が存在しないことから、元の極限も存在しないと結論する。定理は存在するときにだけ結論を与える。$(x + \sin x)/x$ のような場合は式を直接評価する。
5. 平均値の定理の $c$ を具体的な値だと思って使う。$c$ は $(a, b)$ のどこかにあることしか分からない。評価では $a < c < b$ から出る不等式だけを使う。
6. $f'(0)$ を $\lim_{x \to 0} f'(x)$ で求める。導関数が $0$ で連続とは限らないので、$f'(0)$ は差分商の極限として求める。