極限と連続性ε-δ論法・はさみうちの原理・中間値の定理

関数 $f$ が $x \to a$ で $L$ に収束するとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $\delta > 0$ があり、 $0 < |x - a| < \delta$ なら $|f(x) - L| < \varepsilon$ となることをいう。 $f$ が $a$ で連続とは、 $f(a)$ が定義されていて $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つことである。極限は四則演算、はさみうちの原理、代表的な極限の公式を組み合わせて求める。閉区間で連続な関数には、中間値の定理と最大値・最小値の定理が使える。

微分積分の第1単元（全8単元）。

院試数学基礎完成シリーズ微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

微分積分編の内容を見る

数列と関数の極限の定義

定義

数列の極限（ε-N論法）

数列 $\{a_n\}$ が $\alpha$ に収束するとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対して自然数 $N$ があり、 $n \ge N$ ならば $|a_n - \alpha| < \varepsilon$ となることをいう。このとき $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ と書く。 $N$ は $\varepsilon$ に応じて選んでよい。

定義

関数の極限（ε-δ論法）

$f$ を $a$ の近く（ $a$ 自身は除いてよい）で定義された関数とする。任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta > 0$ があり

0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon

が成り立つとき、 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ と書く。条件 $0 < |x - a|$ により、 $x = a$ での値 $f(a)$ は極限に関係しない。

定義

連続性

$f$ が $a$ を含む区間で定義されていて $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つとき、 $f$ は $a$ で連続という。ε-δで書けば、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta > 0$ があり、 $|x - a| < \delta$ なら $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ となることである。区間のすべての点で連続なとき、その区間で連続という。多項式、 $e^x$ 、 $\sin x$ 、 $\cos x$ は実数全体で連続で、連続関数の和・積・合成も連続である。商は分母が $0$ でない点で連続である。

極限を求めるための定理

定理・法則

極限の四則演算

条件

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ 、 $\lim_{x \to a} g(x) = M$ がともに有限の値で存在する。

主張

\lim (f \pm g) = L \pm M, \qquad \lim fg = LM, \qquad \lim \frac{f}{g} = \frac{L}{M} \quad (M \neq 0)

要点

$L$ や $M$ が $\pm\infty$ のとき、 $\infty - \infty$ や $0 \cdot \infty$ の形にはこの定理を使えない。式を変形するか、テイラー展開やロピタルの定理で調べる。

定理・法則

はさみうちの原理

条件

$a$ の近く（ $a$ を除く）で $g(x) \le f(x) \le h(x)$ が成り立ち、 $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$ 。

主張

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ である。数列でも同じことが成り立つ。

要点

$g$ と $h$ の極限が異なると、 $f$ の極限については何も言えない。

代表的な極限

三角関数: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
$x$ は弧度法で測る。度で測ると係数 $\pi/180$ がつく。
自然対数の底: $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e, \qquad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$
指数・対数: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1$
$\log$ は自然対数。
増え方の比較: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{e^x} = 0, \qquad \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^k} = 0 \quad (k > 0)$
$x \to \infty$ では、対数 $\ll$ べき $\ll$ 指数の順に速く増える。

計算例

ε-δ論法で極限を示す

$\lim_{x \to 2} x^2 = 4$ をε-δ論法で示せ。

解答

$|x^2 - 4| = |x - 2|\,|x + 2|$ である。 $|x - 2| < 1$ なら $1 < x < 3$ なので $|x + 2| < 5$ 。任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta = \min\{1, \varepsilon/5\}$ とおくと、 $0 < |x - 2| < \delta$ のとき

|x^2 - 4| < 5|x - 2| < 5 \cdot \frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon

となる。よって $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$ 。

検算

$\varepsilon = 0.1$ なら $\delta = 0.02$ 。 $x = 2.0198$ で $x^2 - 4 \approx 0.0796 < 0.1$ 。 $\delta$ を $\min$ で $1$ 以下に抑えないと $|x + 2| < 5$ の評価が使えないことも確かめておく。

計算例

はさみうちで振動する関数の極限を求める

$\lim_{x \to 0} x \sin \dfrac{1}{x}$ を求めよ。

解答

$\left|\sin \dfrac{1}{x}\right| \le 1$ なので $x \neq 0$ で

-|x| \le x \sin \frac{1}{x} \le |x|

両端は $x \to 0$ で $0$ に収束するから、はさみうちの原理で極限は $0$ 。

検算

$\sin(1/x)$ 自体は $x \to 0$ で $-1$ と $1$ の間を振動して極限をもたない。 $x$ を掛けたことで振幅が $|x|$ に抑えられ、極限が存在する。

閉区間で連続な関数の性質

定理・法則

中間値の定理

条件

$f$ は有界閉区間 $[a, b]$ で連続で、 $f(a) \neq f(b)$ 。

主張

$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $k$ に対して、 $f(c) = k$ となる $c \in (a, b)$ が存在する。

要点

実数の連続性（上限の存在）から示す。途中で不連続な点があると成り立たない。たとえば $x < 0$ で $-1$ 、 $x \ge 0$ で $1$ をとる関数は $[-1, 1]$ で値 $0$ をとらない。

定理・法則

最大値・最小値の定理

条件

$f$ は有界閉区間 $[a, b]$ で連続。

主張

$f$ は $[a, b]$ 上で最大値と最小値をとる。

要点

区間が閉でないと成り立たない。 $f(x) = x$ は開区間 $(0, 1)$ で最大値も最小値ももたず、 $f(x) = 1/x$ は $(0, 1]$ で上に有界でない。多変数でも、有界閉集合上の連続関数は最大値・最小値をとる。

計算例

方程式の実数解の存在

方程式 $x^3 + x - 1 = 0$ が区間 $(0, 1)$ に実数解をただ1つもつことを示せ。

解答

$f(x) = x^3 + x - 1$ は多項式なので $[0, 1]$ で連続で、 $f(0) = -1 < 0$ 、 $f(1) = 1 > 0$ 。中間値の定理（ $k = 0$ ）から $f(c) = 0$ となる $c \in (0, 1)$ がある。さらに $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ より $f$ は狭義単調増加なので、解はただ1つ。

検算

$f(1/2) = -3/8 < 0$ 、 $f(3/4) = 11/64 > 0$ なので解は $(1/2, 3/4)$ にある。数値計算では $c \approx 0.6823$ 。

答案でよくある誤り

1
ε-δ論法で、 $\delta$ を $x$ に依存させる。 $\delta$ は $\varepsilon$ （と点 $a$ ）だけで決まる数として選ぶ。 $x$ を含む因子は、上の例の $|x + 2| < 5$ のように先に定数で抑えてから $\delta$ を決める。
2
極限の存在を確かめずに $f(a)$ を代入する。 $f(a)$ が定義されていない点や不連続な点では、代入した値は極限と一致しない。連続性を確認してから代入する。
3
$\infty - \infty$ や $\infty/\infty$ に極限の四則演算を当てはめる。これらは不定形なので、通分・有理化・主要項でのくくり出し・テイラー展開で形を変えてから求める。
4
中間値の定理を、区間の端で連続でない関数や開区間で使う。条件は有界閉区間 $[a, b]$ 全体での連続性である。端点の値を使うなら端点でも連続であることを書く。
5
$\lim_{x \to 0} \sin x / x = 1$ を、 $x$ が度で測られた式にそのまま使う。公式は弧度法での値であり、度なら極限は $\pi/180$ になる。

微分積分の前後の単元

次の単元：微分と平均値の定理
この単元を使う：微分と平均値の定理
微分積分の単元一覧／微分積分の院試対策／大学基礎課程の数学・物理・化学・生物・情報

このページの本文を数式のLaTeXのまま読むには Markdown版。最終更新 2026-11-16。誤りに気づいたら運営者へ連絡してほしい。

院試数学基礎完成シリーズ微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

微分積分編の内容を見る