# 極限と連続性｜ε-δ論法・はさみうちの原理・中間値の定理

> 数列と関数の極限のε-N・ε-δによる定義、関数の連続性、はさみうちの原理、中間値の定理と最大値・最小値の定理の条件を数式で解説。代表的な極限の公式と、答案でよくある誤りも載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16

関数 $f$ が $x \to a$ で $L$ に収束するとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $\delta > 0$ があり、$0 < |x - a| < \delta$ なら $|f(x) - L| < \varepsilon$ となることをいう。$f$ が $a$ で連続とは、$f(a)$ が定義されていて $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つことである。極限は四則演算、はさみうちの原理、代表的な極限の公式を組み合わせて求める。閉区間で連続な関数には、中間値の定理と最大値・最小値の定理が使える。

## 数列と関数の極限の定義

### 定義：数列の極限（ε-N論法）

数列 $\{a_n\}$ が $\alpha$ に収束するとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対して自然数 $N$ があり、$n \ge N$ ならば $|a_n - \alpha| < \varepsilon$ となることをいう。このとき $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ と書く。$N$ は $\varepsilon$ に応じて選んでよい。

### 定義：関数の極限（ε-δ論法）

$f$ を $a$ の近く（$a$ 自身は除いてよい）で定義された関数とする。任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta > 0$ があり

$$0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$$

が成り立つとき、$\lim_{x \to a} f(x) = L$ と書く。条件 $0 < |x - a|$ により、$x = a$ での値 $f(a)$ は極限に関係しない。

### 定義：連続性

$f$ が $a$ を含む区間で定義されていて $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つとき、$f$ は $a$ で連続という。ε-δで書けば、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta > 0$ があり、$|x - a| < \delta$ なら $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ となることである。区間のすべての点で連続なとき、その区間で連続という。多項式、$e^x$、$\sin x$、$\cos x$ は実数全体で連続で、連続関数の和・積・合成も連続である。商は分母が $0$ でない点で連続である。

## 極限を求めるための定理

### 定理・法則：極限の四則演算

条件：

$\lim_{x \to a} f(x) = L$、$\lim_{x \to a} g(x) = M$ がともに有限の値で存在する。

主張：

$$\lim (f \pm g) = L \pm M, \qquad \lim fg = LM, \qquad \lim \frac{f}{g} = \frac{L}{M} \quad (M \neq 0)$$

要点：

$L$ や $M$ が $\pm\infty$ のとき、$\infty - \infty$ や $0 \cdot \infty$ の形にはこの定理を使えない。式を変形するか、テイラー展開やロピタルの定理で調べる。

### 定理・法則：はさみうちの原理

条件：

$a$ の近く（$a$ を除く）で $g(x) \le f(x) \le h(x)$ が成り立ち、$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$。

主張：

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ である。数列でも同じことが成り立つ。

要点：

$g$ と $h$ の極限が異なると、$f$ の極限については何も言えない。

### 代表的な極限

- 三角関数

  $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

  $x$ は弧度法で測る。度で測ると係数 $\pi/180$ がつく。

- 自然対数の底

  $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e, \qquad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$$

- 指数・対数

  $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1$$

  $\log$ は自然対数。

- 増え方の比較

  $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{e^x} = 0, \qquad \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^k} = 0 \quad (k > 0)$$

  $x \to \infty$ では、対数 $\ll$ べき $\ll$ 指数の順に速く増える。

### 計算例：ε-δ論法で極限を示す

$\lim_{x \to 2} x^2 = 4$ をε-δ論法で示せ。

解答：

$|x^2 - 4| = |x - 2|\,|x + 2|$ である。$|x - 2| < 1$ なら $1 < x < 3$ なので $|x + 2| < 5$。任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta = \min\{1, \varepsilon/5\}$ とおくと、$0 < |x - 2| < \delta$ のとき

$$|x^2 - 4| < 5|x - 2| < 5 \cdot \frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon$$

となる。よって $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$。

検算：

$\varepsilon = 0.1$ なら $\delta = 0.02$。$x = 2.0198$ で $x^2 - 4 \approx 0.0796 < 0.1$。$\delta$ を $\min$ で $1$ 以下に抑えないと $|x + 2| < 5$ の評価が使えないことも確かめておく。

### 計算例：はさみうちで振動する関数の極限を求める

$\lim_{x \to 0} x \sin \dfrac{1}{x}$ を求めよ。

解答：

$\left|\sin \dfrac{1}{x}\right| \le 1$ なので $x \neq 0$ で

$$-|x| \le x \sin \frac{1}{x} \le |x|$$

両端は $x \to 0$ で $0$ に収束するから、はさみうちの原理で極限は $0$。

検算：

$\sin(1/x)$ 自体は $x \to 0$ で $-1$ と $1$ の間を振動して極限をもたない。$x$ を掛けたことで振幅が $|x|$ に抑えられ、極限が存在する。

## 閉区間で連続な関数の性質

### 定理・法則：中間値の定理

条件：

$f$ は有界閉区間 $[a, b]$ で連続で、$f(a) \neq f(b)$。

主張：

$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $k$ に対して、$f(c) = k$ となる $c \in (a, b)$ が存在する。

要点：

実数の連続性（上限の存在）から示す。途中で不連続な点があると成り立たない。たとえば $x < 0$ で $-1$、$x \ge 0$ で $1$ をとる関数は $[-1, 1]$ で値 $0$ をとらない。

### 定理・法則：最大値・最小値の定理

条件：

$f$ は有界閉区間 $[a, b]$ で連続。

主張：

$f$ は $[a, b]$ 上で最大値と最小値をとる。

要点：

区間が閉でないと成り立たない。$f(x) = x$ は開区間 $(0, 1)$ で最大値も最小値ももたず、$f(x) = 1/x$ は $(0, 1]$ で上に有界でない。多変数でも、有界閉集合上の連続関数は最大値・最小値をとる。

### 計算例：方程式の実数解の存在

方程式 $x^3 + x - 1 = 0$ が区間 $(0, 1)$ に実数解をただ1つもつことを示せ。

解答：

$f(x) = x^3 + x - 1$ は多項式なので $[0, 1]$ で連続で、$f(0) = -1 < 0$、$f(1) = 1 > 0$。中間値の定理（$k = 0$）から $f(c) = 0$ となる $c \in (0, 1)$ がある。さらに $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ より $f$ は狭義単調増加なので、解はただ1つ。

検算：

$f(1/2) = -3/8 < 0$、$f(3/4) = 11/64 > 0$ なので解は $(1/2, 3/4)$ にある。数値計算では $c \approx 0.6823$。

## 答案でよくある誤り

1. ε-δ論法で、$\delta$ を $x$ に依存させる。$\delta$ は $\varepsilon$（と点 $a$）だけで決まる数として選ぶ。$x$ を含む因子は、上の例の $|x + 2| < 5$ のように先に定数で抑えてから $\delta$ を決める。
2. 極限の存在を確かめずに $f(a)$ を代入する。$f(a)$ が定義されていない点や不連続な点では、代入した値は極限と一致しない。連続性を確認してから代入する。
3. $\infty - \infty$ や $\infty/\infty$ に極限の四則演算を当てはめる。これらは不定形なので、通分・有理化・主要項でのくくり出し・テイラー展開で形を変えてから求める。
4. 中間値の定理を、区間の端で連続でない関数や開区間で使う。条件は有界閉区間 $[a, b]$ 全体での連続性である。端点の値を使うなら端点でも連続であることを書く。
5. $\lim_{x \to 0} \sin x / x = 1$ を、$x$ が度で測られた式にそのまま使う。公式は弧度法での値であり、度なら極限は $\pi/180$ になる。