院試hub

級数と一様収束収束判定法・べき級数の収束半径・項別微分と項別積分

級数 ∑an\sum a_n は部分和 SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N} a_n が収束するとき収束するという。収束の判定には比較・比・根・積分・交代級数の判定法を使い、べき級数 ∑cnxn\sum c_n x^n は収束半径 RR の内側で絶対収束し、外側で発散する。関数列 fnf_n が ff に一様収束するとは、sup⁡x∣fn(x)−f(x)∣→0\sup_x |f_n(x) - f(x)| \to 0 となることで、各点収束より強い。一様収束なら極限関数は連続性を保ち、極限と積分の順序を交換できる。

微分積分 の第8単元（全8単元）。先に読む単元：テイラー展開、広義積分とガンマ関数・ベータ関数

院試数学 基礎完成シリーズ 微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

微分積分編の内容を見る

級数の収束と関数列の一様収束の定義

定義

級数の収束と絶対収束

部分和 SN=a1+⋯+aNS_N = a_1 + \cdots + a_N が N→∞N \to \infty で有限の値 SS に収束するとき、級数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n は収束するといい、その和を SS とする。∑∣an∣\sum |a_n| が収束するとき絶対収束という。絶対収束する級数は収束し、項の順序を並べ替えても和は変わらない。条件収束する級数は、並べ替えで和が変わり得る。

定義

各点収束と一様収束

区間 II 上の関数列 {fn}\{f_n\} を考える。各 x∈Ix \in I で fn(x)→f(x)f_n(x) \to f(x) となるとき各点収束という。

sup⁡x∈I∣fn(x)−f(x)∣→0(n→∞)\sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)| \to 0 \quad (n \to \infty)

となるとき一様収束という。各点収束では xx ごとに必要な nn の大きさが違ってよいが、一様収束では II のすべての xx に共通の nn で誤差を ε\varepsilon 未満にできる。関数項級数 ∑un(x)\sum u_n(x) の一様収束は、部分和の関数列の一様収束で定める。

正項級数と交代級数の収束判定法

定理・法則

収束の必要条件

条件

∑an\sum a_n が収束する。

主張

an→0a_n \to 0 である。逆は成り立たない。

要点

an=Sn−Sn−1→S−S=0a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0。調和級数 ∑1/n\sum 1/n は 1/n→01/n \to 0 だが発散する。

主な判定法

比較判定法
0≤an≤bn, ∑bn<∞⇒∑an<∞0 \le a_n \le b_n,\ \sum b_n < \infty \Rightarrow \sum a_n < \infty

比較の相手は等比級数 ∑rn\sum r^n（∣r∣<1|r| < 1 で収束）と ∑1/np\sum 1/n^p（p>1p > 1 で収束、p≤1p \le 1 で発散）が多い。

比判定法（ダランベール）
lim⁡n→∞∣an+1an∣=r:r<1⇒絶対収束,r>1⇒発散\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r: \quad r < 1 \Rightarrow \text{絶対収束}, \quad r > 1 \Rightarrow \text{発散}

r=1r = 1 では判定できない。∑1/n\sum 1/n と ∑1/n2\sum 1/n^2 はどちらも r=1r = 1。

根判定法（コーシー）
lim sup⁡n→∞∣an∣1/n=r:r<1⇒絶対収束,r>1⇒発散\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} = r: \quad r < 1 \Rightarrow \text{絶対収束}, \quad r > 1 \Rightarrow \text{発散}
積分判定法
f≥0 が単調減少:∑n=1∞f(n)<∞  ⟺  ∫1∞f(x) dx<∞f \ge 0 \text{ が単調減少}: \quad \sum_{n=1}^{\infty} f(n) < \infty \iff \int_1^\infty f(x)\,dx < \infty

∑1/(nlog⁡n)\sum 1/(n\log n) は ∫2∞dx/(xlog⁡x)=∞\int_2^\infty dx/(x\log x) = \infty から発散する。

交代級数（ライプニッツ）
an≥an+1≥0, an→0⇒∑(−1)n−1an は収束a_n \ge a_{n+1} \ge 0,\ a_n \to 0 \Rightarrow \sum (-1)^{n-1}a_n \text{ は収束}

部分和の誤差は ∣S−SN∣≤aN+1|S - S_N| \le a_{N+1}。1−1/2+1/3−⋯=log⁡21 - 1/2 + 1/3 - \cdots = \log 2 は条件収束する。

計算例

比判定法

∑n=1∞n!nn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} の収束を判定せよ。

解答

an+1an=(n+1)!(n+1)n+1⋅nnn!=(nn+1)n=1(1+1/n)n→1e<1\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \left(\frac{n}{n + 1}\right)^n = \frac{1}{(1 + 1/n)^n} \to \frac{1}{e} < 1

なので収束する。

検算

an=n!/nna_n = n!/n^n で a1=1a_1 = 1、a2=1/2a_2 = 1/2、a3=2/9a_3 = 2/9 と速く減る。n≥2n \ge 2 で an≤2/n2a_n \le 2/n^2（n!/nn=1n⋅2n⋅3n⋯nn≤1n⋅2nn!/n^n = \tfrac{1}{n}\cdot\tfrac{2}{n}\cdot\tfrac{3}{n}\cdots\tfrac{n}{n} \le \tfrac{1}{n}\cdot\tfrac{2}{n}）なので、比較判定法でも収束が分かる。

べき級数の収束半径

定理・法則

収束半径（コーシー・アダマールの公式）

条件

べき級数 ∑n=0∞cn(x−a)n\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n。

主張

1R=lim sup⁡n→∞∣cn∣1/n\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |c_n|^{1/n}

で RR（0≤R≤∞0 \le R \le \infty）を定めると、∣x−a∣<R|x - a| < R で絶対収束し、∣x−a∣>R|x - a| > R で発散する。lim⁡∣cn/cn+1∣\lim |c_n/c_{n+1}| が存在すれば、それも RR に等しい。

要点

∣x−a∣=R|x - a| = R の端点での収束は公式からは分からないので、点ごとに別の判定法で調べる。0<r<R0 < r < R なら ∣x−a∣≤r|x - a| \le r で一様収束する。

計算例

収束半径と端点での収束

∑n=1∞xnn 2n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n\,2^n} が収束する xx の範囲を求めよ。

解答

cn=1/(n 2n)c_n = 1/(n\,2^n) で ∣cncn+1∣=2(n+1)n→2\left|\dfrac{c_n}{c_{n+1}}\right| = \dfrac{2(n + 1)}{n} \to 2 なので R=2R = 2。端点を調べる。

  • x=2x = 2：∑1/n\sum 1/n で発散。
  • x=−2x = -2：∑(−1)n/n\sum (-1)^n/n で、交代級数の判定法から収束。

よって範囲は −2≤x<2-2 \le x < 2。

検算

∣x∣<2|x| < 2 でこの級数は −log⁡(1−x/2)-\log(1 - x/2) に等しい。x=−2x = -2 では −log⁡2-\log 2 となり、∑n≥1(−1)n/n=−log⁡2\sum_{n \ge 1} (-1)^n/n = -\log 2 と一致する。x→2x \to 2 では −log⁡(1−x/2)→∞-\log(1 - x/2) \to \infty で、発散とも合う。

一様収束と極限の交換

定理・法則

ワイエルシュトラスのM判定法

条件

区間 II 上で ∣un(x)∣≤Mn|u_n(x)| \le M_n（MnM_n は xx によらない定数）で、∑Mn<∞\sum M_n < \infty。

主張

∑un(x)\sum u_n(x) は II 上で一様に（かつ絶対）収束する。

要点

例: ∑sin⁡(nx)/n2\sum \sin(nx)/n^2 は ∣sin⁡(nx)/n2∣≤1/n2|\sin(nx)/n^2| \le 1/n^2 から実数全体で一様収束し、和は連続関数である。

定理・法則

一様収束と連続性・積分

条件

fnf_n は有界閉区間 [a,b][a, b] で連続で、ff に一様収束する。

主張

ff は [a,b][a, b] で連続で

lim⁡n→∞∫abfn(x) dx=∫abf(x) dx\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx

が成り立つ。級数なら項別積分 ∫∑un=∑∫un\int \sum u_n = \sum \int u_n ができる。

要点

∣∫ab(fn−f)∣≤(b−a)sup⁡∣fn−f∣→0\left|\int_a^b (f_n - f)\right| \le (b - a)\sup |f_n - f| \to 0 から出る。各点収束だけでは成り立たない。

定理・法則

項別微分

条件

fnf_n は [a,b][a, b] で C1C^1 級、fn′f_n' が [a,b][a, b] で一様収束し、ある1点 x0x_0 で fn(x0)f_n(x_0) が収束する。

主張

fnf_n は [a,b][a, b] で一様収束し、極限 ff は微分可能で f′=lim⁡fn′f' = \lim f_n' である。

要点

fnf_n 自体が一様収束しても、fn′f_n' が収束するとは限らない。fn=sin⁡(nx)/nf_n = \sin(nx)/n は 00 に一様収束するが、fn′=cos⁡(nx)f_n' = \cos(nx) は収束しない。べき級数は収束半径の内側で項別に微分・積分でき、収束半径は変わらない。たとえば 1/(1+t2)=∑n≥0(−1)nt2n1/(1 + t^2) = \sum_{n \ge 0} (-1)^n t^{2n} を 00 から xx まで項別積分すると、∣x∣<1|x| < 1 で arctan⁡x=x−x3/3+x5/5−⋯\arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - \cdots が出る。

計算例

各点収束だが一様収束しない関数列

fn(x)=xnf_n(x) = x^n の [0,1][0, 1] と [0,a][0, a]（0<a<10 < a < 1）上での収束を調べよ。

解答

0≤x<10 \le x < 1 で xn→0x^n \to 0、x=1x = 1 で 1n=11^n = 1 なので、極限 ff は [0,1)[0, 1) で 00、x=1x = 1 で 11 となり不連続である。sup⁡[0,1]∣fn−f∣=sup⁡0≤x<1xn=1\sup_{[0, 1]} |f_n - f| = \sup_{0 \le x < 1} x^n = 1 で 00 に収束しないから、[0,1][0, 1] では一様収束しない。[0,a][0, a] では sup⁡∣fn∣=an→0\sup |f_n| = a^n \to 0 で一様収束する。

検算

連続関数の一様収束極限は連続である。極限が不連続になったことだけからも、[0,1][0, 1] で一様収束しないと分かる。

計算例

極限と積分が交換できない例

fn(x)=nxe−nx2f_n(x) = n x e^{-n x^2} について、lim⁡n→∞∫01fn dx\lim_{n \to \infty}\int_0^1 f_n\,dx と ∫01lim⁡n→∞fn dx\int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_n\,dx を比べよ。

解答

∫01nxe−nx2 dx=[−12e−nx2]01=1−e−n2→12\int_0^1 n x e^{-n x^2}\,dx = \left[-\tfrac{1}{2}e^{-n x^2}\right]_0^1 = \dfrac{1 - e^{-n}}{2} \to \dfrac{1}{2}。一方、各 x∈[0,1]x \in [0, 1] で fn(x)→0f_n(x) \to 0 なので、極限関数の積分は 00。2つは一致しない。

検算

fnf_n は x=1/2nx = 1/\sqrt{2n} で最大値 n/2 e−1/2\sqrt{n/2}\,e^{-1/2} をとり、これは n→∞n \to \infty で発散する。sup⁡∣fn−0∣↛0\sup |f_n - 0| \not\to 0 なので一様収束せず、上の定理の条件を満たさない。

答案でよくある誤り

  1. 1

    an→0a_n \to 0 から ∑an\sum a_n の収束を結論する。an→0a_n \to 0 は必要条件で、∑1/n\sum 1/n は発散する。判定法を1つ選んで示す。

  2. 2

    比判定法で比の極限が 11 のときに収束・発散を書く。r=1r = 1 では判定できないので、比較判定法や積分判定法に切り替える。

  3. 3

    収束半径を求めたあと、端点を調べずに範囲を開区間で答える。端点は別の級数になるので、1つずつ判定する。

  4. 4

    各点収束から極限と積分の交換をする。nxe−nx2n x e^{-n x^2} のように交換できない例がある。sup⁡x∣fn−f∣→0\sup_x |f_n - f| \to 0 を示すか、M判定法を使う。

  5. 5

    一様収束を示すのに、固定した xx で ∣fn(x)−f(x)∣→0|f_n(x) - f(x)| \to 0 を書くだけで終える。これは各点収束である。xx について上限をとった量が 00 に収束することを示す。

  6. 6

    fnf_n が一様収束すれば項別微分できると考える。条件は導関数の列 fn′f_n' の一様収束である。

級数と一様収束が出た院試の過去問

院試hubが年度別解説の大問を分類した集計から、この単元の内容を扱う出題を挙げる。問題文は各大学の公式過去問で確かめ、解き方は各年度の解説ページで読める。

一様収束

15大学・69問（2004〜2026年度）

新しい年度の出題

解答まで無料で読める演習問題

一様収束の出題実績（大学×年度）をすべて見る

微分積分の前後の単元

このページの本文を数式のLaTeXのまま読むには Markdown版。最終更新 2026-11-16。誤りに気づいたら 運営者 へ連絡してほしい。

院試数学 基礎完成シリーズ 微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

微分積分編の内容を見る