広義積分とガンマ関数・ベータ関数収束判定・Γ(1/2)=√π・ベータ関数による計算

区間が無限に伸びる積分や、被積分関数が有界でない積分は、端点に近づける極限として定義し、極限が有限なら収束するという。収束はべき関数 $x^{-p}$ との比較で判定し、 $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ は $p > 1$ 、 $\int_0^1 x^{-p}\,dx$ は $p < 1$ のときに収束する。ガンマ関数 $\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx$ （ $s > 0$ ）とベータ関数 $B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1 - x)^{q-1}\,dx$ （ $p, q > 0$ ）は広義積分で定義され、 $B(p, q) = \Gamma(p)\Gamma(q)/\Gamma(p + q)$ を使うと多くの定積分が値で求まる。

微分積分の第7単元（全8単元）。先に読む単元：重積分

院試数学基礎完成シリーズ微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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広義積分の定義

定義

広義積分

$f$ が $[a, \infty)$ で連続なとき

\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{R \to \infty} \int_a^R f(x)\,dx

と定め、極限が有限の値で存在すれば収束するという。 $f$ が $(a, b]$ で連続で $x \to a$ で有界でないときは $\int_a^b f = \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a + \varepsilon}^b f$ とする。両端が問題になる場合は途中の点で分け、それぞれが収束するときに収束とする。

定義

絶対収束と条件収束

$\int |f|$ が収束するとき $\int f$ は絶対収束するという。絶対収束すれば収束する。収束するが絶対収束しないものを条件収束という。

広義積分の収束判定

定理・法則

比較判定法

条件

$[a, \infty)$ で $0 \le f(x) \le g(x)$ （ $f, g$ は連続）。

主張

$\int_a^\infty g$ が収束すれば $\int_a^\infty f$ も収束し、 $\int_a^\infty f$ が発散すれば $\int_a^\infty g$ も発散する。

要点

被積分関数が非負なので $R \mapsto \int_a^R f$ は単調増加で、上に有界なら収束する。極限の形では、 $f, g > 0$ で $\lim f/g$ が正の有限値なら、2つの積分は同時に収束・発散する。

比較に使うべき関数

無限区間: $\int_1^\infty \frac{dx}{x^p} \text{ は } p > 1 \text{ で収束（値 } \tfrac{1}{p - 1} \text{）、} p \le 1 \text{ で発散}$
端点で有界でない場合: $\int_0^1 \frac{dx}{x^p} \text{ は } p < 1 \text{ で収束（値 } \tfrac{1}{1 - p} \text{）、} p \ge 1 \text{ で発散}$
条件収束の例: $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}, \qquad \int_0^\infty \left|\frac{\sin x}{x}\right| dx = \infty$
値の計算は留数定理やパラメータ積分で行う。

計算例

ガンマ関数の積分が収束する範囲

$\displaystyle \int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx$ が収束する実数 $s$ の範囲を求めよ。

解答

$[0, 1]$ と $[1, \infty)$ に分ける。

$[0, 1]$ ： $e^{-1} x^{s-1} \le x^{s-1}e^{-x} \le x^{s-1}$ 。 $\int_0^1 x^{s-1}\,dx$ は $1 - s < 1$ 、つまり $s > 0$ のときだけ収束するので、この部分は $s > 0$ で収束し、 $s \le 0$ で発散する。
$[1, \infty)$ ：任意の $s$ で $x^{s+1}e^{-x} \to 0$ なので、十分大きい $x$ で $x^{s-1}e^{-x} \le x^{-2}$ 。 $\int_1^\infty x^{-2}$ は収束するから、この部分はすべての $s$ で収束する。

よって収束する範囲は $s > 0$ 。

検算

$s = 1$ で $\int_0^\infty e^{-x}\,dx = 1 = \Gamma(1)$ 。 $s = 0$ では $\int_0^1 x^{-1}e^{-x}\,dx \ge e^{-1}\int_0^1 x^{-1}\,dx = \infty$ で発散する。

ガンマ関数とベータ関数の性質

定義

ガンマ関数とベータ関数

\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx \quad (s > 0), \qquad B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1 - x)^{q-1}\,dx \quad (p, q > 0)

ベータ関数は $x = 0$ で $p < 1$ 、 $x = 1$ で $q < 1$ のとき広義積分になり、 $p, q > 0$ で収束する。

ガンマ関数・ベータ関数の公式

漸化式と階乗: $\Gamma(s + 1) = s\,\Gamma(s), \qquad \Gamma(n + 1) = n! \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$
部分積分から出る。 $\Gamma(1) = 1$ 。
半整数: $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}, \qquad \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}, \qquad \Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3\sqrt{\pi}}{4}$
$x = t^2$ と置くと $\Gamma(1/2) = 2\int_0^\infty e^{-t^2}\,dt$ で、ガウス積分になる。
ガンマ関数との関係: $B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\,\Gamma(q)}{\Gamma(p + q)}, \qquad B(p, q) = B(q, p)$
$\Gamma(p)\Gamma(q)$ を2重積分に書き、変数変換して示す。
三角関数による表示: $B(p, q) = 2\int_0^{\pi/2} \sin^{2p-1}\theta\,\cos^{2q-1}\theta\,d\theta$
$x = \sin^2\theta$ と置く。
相反公式: $\Gamma(s)\,\Gamma(1 - s) = \frac{\pi}{\sin \pi s} \quad (0 < s < 1)$
$s = 1/2$ とすると $\Gamma(1/2)^2 = \pi$ 。
ガウス型の積分: $\int_0^\infty x^{m}e^{-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{m + 1}{2}\right) \quad (m > -1)$
$x^2 = t$ と置く。

ガンマ関数・ベータ関数で積分を計算する例

計算例

ガウス型の積分

$\displaystyle \int_0^\infty x^4 e^{-x^2}\,dx$ を求めよ。

解答

$x^2 = t$ 、 $dx = \dfrac{dt}{2\sqrt{t}}$ と置くと

\int_0^\infty t^2 e^{-t}\frac{dt}{2\sqrt{t}} = \frac{1}{2}\int_0^\infty t^{3/2}e^{-t}\,dt = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\pi} = \frac{3\sqrt{\pi}}{8}

検算

部分積分で $\int_0^\infty x^4 e^{-x^2}\,dx = \tfrac{3}{2}\int_0^\infty x^2 e^{-x^2}\,dx = \tfrac{3}{2} \cdot \tfrac{\sqrt{\pi}}{4}$ としても同じ値になる。標準正規分布の4次モーメントが $3$ であることとも整合する。

計算例

三角関数のべきの積分

$\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^4 x \cos^2 x\,dx$ を求めよ。

解答

$2p - 1 = 4$ 、 $2q - 1 = 2$ から $p = 5/2$ 、 $q = 3/2$ 。

\int_0^{\pi/2} \sin^4 x\cos^2 x\,dx = \frac{1}{2}B\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\Gamma(5/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(4)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(3\sqrt{\pi}/4)(\sqrt{\pi}/2)}{6} = \frac{\pi}{32}

検算

$\sin^4 x\cos^2 x = \sin^4 x - \sin^6 x$ とし、ウォリスの公式 $\int_0^{\pi/2}\sin^4 = 3\pi/16$ 、 $\int_0^{\pi/2}\sin^6 = 5\pi/32$ を使うと $3\pi/16 - 5\pi/32 = \pi/32$ 。

計算例

多項式とべき根の積分

$\displaystyle \int_0^1 x^2(1 - x)^3\,dx$ と $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(1 - x)}}$ を求めよ。

解答

前者は $B(3, 4) = \dfrac{\Gamma(3)\Gamma(4)}{\Gamma(7)} = \dfrac{2! \cdot 3!}{6!} = \dfrac{12}{720} = \dfrac{1}{60}$ 。後者は両端で被積分関数が有界でない広義積分で、 $B(1/2, 1/2) = \Gamma(1/2)^2/\Gamma(1) = \pi$ 。

検算

前者は $(1 - x)^3$ を展開して $\int_0^1 (x^2 - 3x^3 + 3x^4 - x^5)\,dx = 1/3 - 3/4 + 3/5 - 1/6 = 1/60$ 。後者は $x = \sin^2\theta$ で $\int_0^{\pi/2} 2\,d\theta = \pi$ 。

答案でよくある誤り

1
両端が問題になる積分を1つの極限 $\lim_{R \to \infty}\int_{-R}^{R}$ で計算する。 $\int_{-\infty}^{\infty} x\,dx$ はこの方法では $0$ になるが、定義では発散する。途中の点で分けて、それぞれの収束を確かめる。
2
$\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx$ の収束を $x \to \infty$ の側だけで判定する。 $s \le 0$ では $x = 0$ の側で発散するので、両方の端を調べる。
3
$\Gamma(n) = n!$ と書く。正しくは $\Gamma(n + 1) = n!$ で、 $\Gamma(n) = (n - 1)!$ 。
4
三角関数の表示で $p, q$ を取り違える。 $\int_0^{\pi/2}\sin^a\theta\cos^b\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}B\big(\tfrac{a + 1}{2}, \tfrac{b + 1}{2}\big)$ と、指数に $1$ を足して $2$ で割り、係数 $1/2$ を付ける。
5
置換 $x^2 = t$ で $dx$ を $dt$ のまま書く。 $dx = dt/(2\sqrt{t})$ で、ガンマ関数の引数は $(m + 1)/2$ になる。

広義積分とガンマ関数・ベータ関数が出た院試の過去問

院試hubが年度別解説の大問を分類した集計から、この単元の内容を扱う出題を挙げる。問題文は各大学の公式過去問で確かめ、解き方は各年度の解説ページで読める。

ベータ関数・ガンマ関数

13大学・24問（2014〜2026年度）

新しい年度の出題

名古屋工業大学情報工学系 2026年度第6問数理科学2
東京都立大学大学院物理 2026年度第4問統計力学
筑波大学大学院電子・物理工学専門科目 2026年度第1問数学：複素三角関数・広義積分と実対称行列の直交対角化
京都大学先端数理科学コース 2025年度第2問基礎科目：積分と極限
京都大学システム科学コース 2025年度第8問確率統計2
大阪大学数学 2025年度第4問A-4 分枝対数とベータ積分

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