# 広義積分とガンマ関数・ベータ関数｜収束判定・Γ(1/2)=√π・ベータ関数による計算

> 広義積分の定義と収束判定（比較判定法、べき関数との比較、絶対収束）、ガンマ関数・ベータ関数の定義と性質、Γ(1/2)=√πやB(p,q)=Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)を使う積分の計算例と典型的な誤りを解説します。

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- 最終更新: 2026-11-16
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区間が無限に伸びる積分や、被積分関数が有界でない積分は、端点に近づける極限として定義し、極限が有限なら収束するという。収束はべき関数 $x^{-p}$ との比較で判定し、$\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ は $p > 1$、$\int_0^1 x^{-p}\,dx$ は $p < 1$ のときに収束する。ガンマ関数 $\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx$（$s > 0$）とベータ関数 $B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1 - x)^{q-1}\,dx$（$p, q > 0$）は広義積分で定義され、$B(p, q) = \Gamma(p)\Gamma(q)/\Gamma(p + q)$ を使うと多くの定積分が値で求まる。

## 広義積分の定義

### 定義：広義積分

$f$ が $[a, \infty)$ で連続なとき

$$\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{R \to \infty} \int_a^R f(x)\,dx$$

と定め、極限が有限の値で存在すれば収束するという。$f$ が $(a, b]$ で連続で $x \to a$ で有界でないときは $\int_a^b f = \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a + \varepsilon}^b f$ とする。両端が問題になる場合は途中の点で分け、それぞれが収束するときに収束とする。

### 定義：絶対収束と条件収束

$\int |f|$ が収束するとき $\int f$ は絶対収束するという。絶対収束すれば収束する。収束するが絶対収束しないものを条件収束という。

## 広義積分の収束判定

### 定理・法則：比較判定法

条件：

$[a, \infty)$ で $0 \le f(x) \le g(x)$（$f, g$ は連続）。

主張：

$\int_a^\infty g$ が収束すれば $\int_a^\infty f$ も収束し、$\int_a^\infty f$ が発散すれば $\int_a^\infty g$ も発散する。

要点：

被積分関数が非負なので $R \mapsto \int_a^R f$ は単調増加で、上に有界なら収束する。極限の形では、$f, g > 0$ で $\lim f/g$ が正の有限値なら、2つの積分は同時に収束・発散する。

### 比較に使うべき関数

- 無限区間

  $$\int_1^\infty \frac{dx}{x^p} \text{ は } p > 1 \text{ で収束（値 } \tfrac{1}{p - 1} \text{）、} p \le 1 \text{ で発散}$$

- 端点で有界でない場合

  $$\int_0^1 \frac{dx}{x^p} \text{ は } p < 1 \text{ で収束（値 } \tfrac{1}{1 - p} \text{）、} p \ge 1 \text{ で発散}$$

- 条件収束の例

  $$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}, \qquad \int_0^\infty \left|\frac{\sin x}{x}\right| dx = \infty$$

  値の計算は[留数定理](https://inshihub.com/basics/complex-analysis/residue-theorem-real-integrals)やパラメータ積分で行う。

### 計算例：ガンマ関数の積分が収束する範囲

$\displaystyle \int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx$ が収束する実数 $s$ の範囲を求めよ。

解答：

$[0, 1]$ と $[1, \infty)$ に分ける。

- $[0, 1]$：$e^{-1} x^{s-1} \le x^{s-1}e^{-x} \le x^{s-1}$。$\int_0^1 x^{s-1}\,dx$ は $1 - s < 1$、つまり $s > 0$ のときだけ収束するので、この部分は $s > 0$ で収束し、$s \le 0$ で発散する。
- $[1, \infty)$：任意の $s$ で $x^{s+1}e^{-x} \to 0$ なので、十分大きい $x$ で $x^{s-1}e^{-x} \le x^{-2}$。$\int_1^\infty x^{-2}$ は収束するから、この部分はすべての $s$ で収束する。

よって収束する範囲は $s > 0$。

検算：

$s = 1$ で $\int_0^\infty e^{-x}\,dx = 1 = \Gamma(1)$。$s = 0$ では $\int_0^1 x^{-1}e^{-x}\,dx \ge e^{-1}\int_0^1 x^{-1}\,dx = \infty$ で発散する。

## ガンマ関数とベータ関数の性質

### 定義：ガンマ関数とベータ関数

$$\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx \quad (s > 0), \qquad B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1 - x)^{q-1}\,dx \quad (p, q > 0)$$

ベータ関数は $x = 0$ で $p < 1$、$x = 1$ で $q < 1$ のとき広義積分になり、$p, q > 0$ で収束する。

### ガンマ関数・ベータ関数の公式

- 漸化式と階乗

  $$\Gamma(s + 1) = s\,\Gamma(s), \qquad \Gamma(n + 1) = n! \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$$

  部分積分から出る。$\Gamma(1) = 1$。

- 半整数

  $$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}, \qquad \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}, \qquad \Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3\sqrt{\pi}}{4}$$

  $x = t^2$ と置くと $\Gamma(1/2) = 2\int_0^\infty e^{-t^2}\,dt$ で、ガウス積分になる。

- ガンマ関数との関係

  $$B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\,\Gamma(q)}{\Gamma(p + q)}, \qquad B(p, q) = B(q, p)$$

  $\Gamma(p)\Gamma(q)$ を2重積分に書き、変数変換して示す。

- 三角関数による表示

  $$B(p, q) = 2\int_0^{\pi/2} \sin^{2p-1}\theta\,\cos^{2q-1}\theta\,d\theta$$

  $x = \sin^2\theta$ と置く。

- 相反公式

  $$\Gamma(s)\,\Gamma(1 - s) = \frac{\pi}{\sin \pi s} \quad (0 < s < 1)$$

  $s = 1/2$ とすると $\Gamma(1/2)^2 = \pi$。

- ガウス型の積分

  $$\int_0^\infty x^{m}e^{-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{m + 1}{2}\right) \quad (m > -1)$$

  $x^2 = t$ と置く。

## ガンマ関数・ベータ関数で積分を計算する例

### 計算例：ガウス型の積分

$\displaystyle \int_0^\infty x^4 e^{-x^2}\,dx$ を求めよ。

解答：

$x^2 = t$、$dx = \dfrac{dt}{2\sqrt{t}}$ と置くと

$$\int_0^\infty t^2 e^{-t}\frac{dt}{2\sqrt{t}} = \frac{1}{2}\int_0^\infty t^{3/2}e^{-t}\,dt = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\pi} = \frac{3\sqrt{\pi}}{8}$$

検算：

部分積分で $\int_0^\infty x^4 e^{-x^2}\,dx = \tfrac{3}{2}\int_0^\infty x^2 e^{-x^2}\,dx = \tfrac{3}{2} \cdot \tfrac{\sqrt{\pi}}{4}$ としても同じ値になる。標準正規分布の4次モーメントが $3$ であることとも整合する。

### 計算例：三角関数のべきの積分

$\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^4 x \cos^2 x\,dx$ を求めよ。

解答：

$2p - 1 = 4$、$2q - 1 = 2$ から $p = 5/2$、$q = 3/2$。

$$\int_0^{\pi/2} \sin^4 x\cos^2 x\,dx = \frac{1}{2}B\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\Gamma(5/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(4)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(3\sqrt{\pi}/4)(\sqrt{\pi}/2)}{6} = \frac{\pi}{32}$$

検算：

$\sin^4 x\cos^2 x = \sin^4 x - \sin^6 x$ とし、ウォリスの公式 $\int_0^{\pi/2}\sin^4 = 3\pi/16$、$\int_0^{\pi/2}\sin^6 = 5\pi/32$ を使うと $3\pi/16 - 5\pi/32 = \pi/32$。

### 計算例：多項式とべき根の積分

$\displaystyle \int_0^1 x^2(1 - x)^3\,dx$ と $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(1 - x)}}$ を求めよ。

解答：

前者は $B(3, 4) = \dfrac{\Gamma(3)\Gamma(4)}{\Gamma(7)} = \dfrac{2! \cdot 3!}{6!} = \dfrac{12}{720} = \dfrac{1}{60}$。後者は両端で被積分関数が有界でない広義積分で、$B(1/2, 1/2) = \Gamma(1/2)^2/\Gamma(1) = \pi$。

検算：

前者は $(1 - x)^3$ を展開して $\int_0^1 (x^2 - 3x^3 + 3x^4 - x^5)\,dx = 1/3 - 3/4 + 3/5 - 1/6 = 1/60$。後者は $x = \sin^2\theta$ で $\int_0^{\pi/2} 2\,d\theta = \pi$。

## 答案でよくある誤り

1. 両端が問題になる積分を1つの極限 $\lim_{R \to \infty}\int_{-R}^{R}$ で計算する。$\int_{-\infty}^{\infty} x\,dx$ はこの方法では $0$ になるが、定義では発散する。途中の点で分けて、それぞれの収束を確かめる。
2. $\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx$ の収束を $x \to \infty$ の側だけで判定する。$s \le 0$ では $x = 0$ の側で発散するので、両方の端を調べる。
3. $\Gamma(n) = n!$ と書く。正しくは $\Gamma(n + 1) = n!$ で、$\Gamma(n) = (n - 1)!$。
4. 三角関数の表示で $p, q$ を取り違える。$\int_0^{\pi/2}\sin^a\theta\cos^b\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}B\big(\tfrac{a + 1}{2}, \tfrac{b + 1}{2}\big)$ と、指数に $1$ を足して $2$ で割り、係数 $1/2$ を付ける。
5. 置換 $x^2 = t$ で $dx$ を $dt$ のまま書く。$dx = dt/(2\sqrt{t})$ で、ガンマ関数の引数は $(m + 1)/2$ になる。

## 広義積分とガンマ関数・ベータ関数が出た院試の過去問

### [ベータ関数・ガンマ関数](https://inshihub.com/exam-themes/beta-gamma-function)（13大学・24問）

- [名古屋工業大学 情報工学系 2026年度 第6問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/information-engineering/2026#problem-6): 数理科学2
- [東京都立大学大学院 物理 2026年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-metropolitan-university/graduate-school-of-science/physics/2026-summer#problem-4): 統計力学
- [筑波大学大学院 電子・物理工学 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tsukuba-university/degree-program-in-engineering-sciences/applied-physics/2026-january-february#problem-1): 数学：複素三角関数・広義積分と実対称行列の直交対角化
- [京都大学 先端数理科学コース 2025年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-informatics/advanced-mathematical-sciences/2025#problem-2): 基礎科目：積分と極限
- [京都大学 システム科学コース 2025年度 第8問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-informatics/systems-science/2025#problem-8): 確率統計2
- [大阪大学 数学 2025年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/osaka-university/graduate-school-of-science/mathematics/2025-first#problem-4): A-4 分枝対数とベータ積分

解答まで無料で読める演習問題:

- [京都大学 通信情報システムコース 2023年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-informatics/communications-and-computer-engineering/2023#problem-1): A-1 微積分・線形代数
- [東京科学大学 情報通信 2023年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/institute-of-science-tokyo/school-of-engineering/information-and-communications/2023#problem-1): ガンマ関数とWallis積
- [大阪大学 数学 2020年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/osaka-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/information-fundamental-mathematics/2020#problem-1): 有理関数の広義積分
- [大阪大学 数学 2019年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/osaka-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/information-fundamental-mathematics/2019#problem-1): パラメータ付き有理型積分