都立大 理学研究科 数理科学専攻 数学 2026年度冬季 院試 解答例・解説

方針

片方の行列 $A$ が対角化されると、$P$ の列は $A$ の固有ベクトルになる。したがって同時対角化では、 各列が $A$ と $B$ の共通固有ベクトルであることが本質である。特に $A$ の 1 次元固有空間は逃げ場がないので、 そこから $a$ の必要条件を先に取り出すのが最短である。

固有値 $2$ の空間が決め手

$E_2$ は 1 次元であるため、$u=(-1,-1,1)^T$ が $B$ の固有ベクトルでなければならない。 ここで $Bu$ の第 1,2 成分は等しく、第 3 成分との符号関係を比べるだけで $a=2$ が出る。 この段階で候補を絞らずに $B$ 全体の固有値計算を始めると、計算量が不要に増える。

十分性の確認

$a=2$ を得た後は、残りの $A$ の固有空間 $E_3$ の中で $B$ の固有ベクトルを 2 本取れることを示す必要がある。 「必要条件が出たから終わり」ではなく、実際に正則な $P$ を作って対角化を確認するところまでが答案の採点対象である。

典型ミス

$A$ の固有値 $3$ は重複しているが、固有空間は 2 次元であり、$A$ は対角化可能である。 代数的重複度だけを見て「重根なので対角化できない」と判断するのは誤りである。 また、$P$ の列の順序を変えると対角成分の順序も変わるので、答案では列ベクトルと対角行列の対応をそろえて書く。

試験で書くべきポイント

必要条件として $a=2$ を出すだけでなく、その値で実際に共通固有ベクトルを三本並べた正則行列 $P$ を提示する。必要性と十分性の両方がそろって初めて同時対角化の答案になる。

方針

$P_n$ は最終行を基準に行を引くと、ほとんど単位行列のような形になる。 一方、$Q_n$ は対角成分だけが異なる「全成分 1 の行列にスカラー行列を足した形」であり、固有値で見るのが最も速い。

$P_n$ の符号

$|P_n|$ では符号を落としやすい。行基本変形の後に残る行列は、列 $1$ が最終行に移っている形なので、 行列式は $(-1)^{n-1}$ になる。$n=2$ の例で $1-a=-(a-1)$ となることを確認すると、一般式の符号を検算できる。

$Q_n$ の固有値

$\mathbf{1}\mathbf{1}^T$ は、$\mathbf{1}$ 方向には $n$ 倍、直交方向には $0$ 倍として作用する。 したがって $Q_n$ の固有値は $a+n-1$ が 1 個、$a-1$ が $n-1$ 個である。 これは行列式を直接展開するよりも、計算ミスが少ない方法である。

試験で書くべきポイント

比を求めるだけでも、$|P_n|$ と $|Q_n|$ を別々に明示すると部分点が取りやすい。 また、問題の仮定 $a\ne1$ により $|P_n|$ で割れることを一言添えると、答案としての論理が閉じる。

方針

第 1 小問は発散の比較、第 2 小問は一様収束と項別積分である。 見た目は似ているが、分子が $n$ の級数は $1/n$ 型、分子が $1$ の級数は $1/n^2$ 型になるため、収束性が分かれる。

発散の比較

$x$ は $[0,1]$ に固定されているので、分母 $x^2+n^2$ は高々 $2n^2$ と評価できる。 発散を示すときは上からではなく下から評価する必要がある。 $$\frac{n}{x^2+n^2}\le \frac{1}{n}$$ のような評価を書いても、発散の証明にはならない。

一様収束の理由

各項を $1/n^2$ で一様に抑えられることが重要である。 $x$ に依存しない収束級数で上から評価できるため、Weierstrass の判定法がそのまま使える。 単なる各点収束だけでは、和と積分の交換は正当化できない。

項別積分の検算

$\tan^{-1}(x/n)$ を微分すると $$\frac{1}{1+(x/n)^2}\cdot\frac{1}{n} = \frac{n}{x^2+n^2}$$ になるので、積分公式にはさらに $1/n$ の係数が必要である。 この係数を落とすミスが多い。正しくは $$\int\frac{dx}{x^2+n^2}=\frac{1}{n}\tan^{-1}\frac{x}{n}+C$$ である。

典型ミス

発散を示す場面で上から評価しても結論は出ない。第 1 小問では $\frac{n}{x^2+n^2}\ge 1/(2n)$ という下からの評価が必要である。

試験で書くべきポイント

和と積分を交換する直前に、一様収束の根拠を必ず書く。Weierstrass の判定法で使う優級数 $\sum 1/n^2$ を明示すれば、項別積分の正当化として十分である。

方針

前半で求めた $$(\tanh^{-1}t)'=\frac{1}{1-t^2}$$ を、後半の積分でそのまま使う構成である。 積分の分母に $1-r^6$ と $\tanh^{-1}(r^3)$ が現れるため、$t=r^3$ と置くのが自然である。

逆関数の存在

逆関数を持つことを示すには、単に公式を知っているだけでは不十分である。 $\tanh$ が連続かつ狭義単調増加で、極限値が $-1,1$ であることを書けば、値域が $(-1,1)$ であることまで示せる。 さらに導関数が正なので、逆関数の微分公式を使える。

ヤコビアンの符号

この座標範囲では $\sin\theta\ge0$ であるため、体積要素は $$dxdydz=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$$ でよい。ヤコビアンの絶対値を使う流儀でも同じ値になる。

積分範囲の読み替え

$z\ge0$ は上半空間を表すので、角度は $0\le\theta\le\pi/2$ である。 半径は $1/2\le r\le a$ となる。ここで下限を $1/4$ としてしまうのは、条件が $r^2\ge1/4$ であることを見落としたミスである。

検算

$1/2<a<1$ なので $1/8<a^3<1$ であり、$\tanh^{-1}(a^3)$ と $\tanh^{-1}(1/8)$ はどちらも正である。 したがって対数の中身は正で、最終式は実数として意味を持つ。

典型ミス

$\tanh^{-1}$ は逆数ではなく逆関数である。また $z\ge0$ による角度範囲を $0\le\theta\le\pi$ としてしまうと、角度部分が二倍になってしまう。

試験で書くべきポイント

極座標に直した後、半径範囲、角度範囲、ヤコビアン、置換 $t=r^3$ を順に書く。特に $r^2\ge1/4$ から $r\ge1/2$ になる点を明記すると、積分範囲の誤読を防げる。