都立大 理学研究科 数理科学専攻 数学 2024年度冬季 院試 解答例・解説

方針

前半は無限大側の比較判定、後半は $x\mapsto 1/x$ による対称性を見る問題である。与えられた変換で $$f(x)\,dx=f(1/x)\,d(1/x)$$ となるため、$(0,1)$ 側の積分は $(1,\infty)$ 側の積分の符号を反転したものになる。

不等式の作り方

示すべき形に分母を払うと、必要なのは $$x^3\log x\le 1+x^4$$ である。$x\ge 1$ では $\log x\le x$ がすぐ使えるので、複雑な増減表は不要である。

変数変換での注意

$y=1/x$ では $dy/dx<0$ である。したがって積分区間の向きが反転し、 $$\int_\varepsilon^1 f(x)\,dx = -\int_1^{1/\varepsilon} f(y)\,dy$$ となる。この負号を落とすと、最後の全区間の積分値を誤る。

検算

$0<x<1$ では $\log x<0$ なので $f(x)<0$、一方 $x>1$ では $f(x)>0$ である。したがって、対称性により負の部分と正の部分がちょうど打ち消して全体の値が $0$ になる、という結論は符号の面からも自然である。

典型ミス

$(0,1)$ 側の積分を変数変換するとき、区間の向きが反転することを忘れやすい。ここで負号を落とすと、最後に $2I$ のような誤った値が出てしまう。

試験で書くべきポイント

広義積分では、$(0,1)$ と $(1,\infty)$ の収束を別々に確認してから和を取る。値が $0$ になる説明だけでは、収束性の確認としては不十分である。

方針

核になるのは望遠和である。$f_k=a_k-a_{k+1}$ と見抜けば、点ごとの極限も一様収束の判定も、剰余項 $a_{n+1}$ の評価に帰着する。

積分後に一様収束する理由

$a_{n+1}(x)$ 自身は $x$ が $0$ に近いところで大きな山を持つ。しかし積分すると $$\int_0^1 a_{n+1}(t)\,dt = \frac{1}{2(n+1)}\log\{1+(n+1)^3\}$$ となり、山の幅の小ささが効いて $0$ に近づく。これが「もとの級数は一様収束しないが、積分した級数は一様収束する」理由である。

典型ミス

$x>0$ での極限だけを見て $a_{n+1}(x)\to 0$ と書くと、一様収束の議論にはならない。一様収束では $x$ を $n$ に依存させてよいので、$x=(n+1)^{-3/2}$ のように山の頂点を選んで剰余が小さくならないことを示す必要がある。

検算

$S(0)=0$ であり、求めた式 $x/(1+x^2)$ も $0$ を与える。また $0\le x\le1$ で有界なので、積分後の極限関数としても自然である。

試験で書くべきポイント

(2) では $$\sup_{0\le x\le 1} \left|\sum_{k=1}^nF_k(x)-\int_0^xS(t)\,dt\right|\to 0$$ を明示することが重要である。各 $x$ で収束することだけでは一様収束の証明として不十分である。

方針

標準基底の像が直接与えられていないので、まず「入力ベクトルを列に並べる」ことが第一手である。三つの入力ベクトルが一次独立なら、それらは $\mathbb{C}^3$ の基底であり、像の情報から線形写像は一意に決まる。

行列計算の確認

$A_tV=B_t$ と置くと、右から $V^{-1}$ を掛けて $A_t=B_tV^{-1}$ である。ここを $V^{-1}B_t$ としてしまうと、行列の積の順序が逆になり全く別の答になる。列ベクトルに左から行列を掛ける約束では、入力ベクトルを列にした行列は右側に現れる。

最小多項式の決め方

$t=0$ では固有値 $2,-2$ が現れ、かつ $2$ の固有空間が二次元あるため対角化できる。対角化できる行列の最小多項式は、現れる固有値に対応する一次因子を一回ずつ掛けたものになる。

$t=1$ では $A_1=I+N$ と見て、べき零部分 $N$ の指数を見るのが速い。$N^2\ne O$ かつ $N^3=O$ なので、最小多項式には $(X-1)^3$ が必要である。

検算

$P_0$ の各列を $A_0$ に代入すると、順に $-2,2,2$ 倍される。したがって表示された対角行列の対角成分と列の順序は一致している。

典型ミス

$A_t=B_tV^{-1}$ の積の順序を逆にしないこと。列ベクトルを右に置く記法では、入力ベクトルを並べた行列 $V$ は右側に現れる。

試験で書くべきポイント

対角化可能性は固有多項式だけでは決まらない。特に $t=1$ は固有多項式が $(X-1)^3$ であっても、固有空間が一次元しかないことを示さないと、対角化不能の根拠として弱い。固有空間の次元、または最小多項式に重根があることを明記する。

方針

$U+V$ は $F$ の列と $G$ の列で張られる空間である。したがって $\dim(U+V)$ は、四本の列を並べた $4\times4$ 行列のランクとして計算できる。

条件の読み替え

$F$ も $G$ も列ランクは $2$ であるから、通常なら $U+V$ は最大で四次元になる。条件 $\dim(U+V)=3$ は、四本の列の間に一次関係がちょうど一つあることを意味する。これが $\det(F\ G)=0$ とランク $3$ の確認に対応している。

W の意味

$W$ は「$f(x)$ と $g(y)$ が同じベクトルになるような組 $(x,y)$ 全体」である。これは $$Fx-Gy=0$$ という同次連立一次方程式の解空間なので、自然に部分空間になる。部分空間の証明では、零ベクトルを含むこと、和とスカラー倍で閉じていることを直接示してもよいが、核として見る方が簡潔でミスが少ない。

共通部分への戻し方

$W$ の元は $\mathbb{R}^2$ の二つのパラメータ $x,y$ を縦に並べたものであって、$U\cap V$ の元そのものではない。最後に必ず $Fx$、または同じ値である $Gy$ を計算して、$\mathbb{R}^4$ のベクトルに戻す必要がある。

検算

$t=-3$ のとき $$G\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\4\\-3\\-4 \end{pmatrix} = F\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}.$$ したがって求めたベクトルが確かに $U$ と $V$ の両方に属していることが確認できる。

典型ミス

$\det(F\ G)=0$ だけで $t=-3$ と結論して終わらないこと。条件は階数が $3$ であることなので、少なくとも一つの $3$ 次小行列式が非零である確認が必要である。

試験で書くべきポイント

$W$ の基底は $\mathbb R^4$ の入力ペアの基底、$U\cap V$ の基底は像空間のベクトルである。最後に $Fx$ または $Gy$ を計算して、空間を取り違えていないことを示す。