都立大 理学研究科 数理科学専攻 数学 2025年度夏季 院試 解答例・解説

方針

前半は連立一次方程式そのものである。後半の交わりは、片方の部分空間の表示ともう片方の部分空間の表示を等置し、係数の自由度を調べるのが最も確実である。

検算

求めた $x=(4,-1,-1)^T$ について $$4a_1-a_2-a_3 =\begin{pmatrix}6\\1\\1\\2\end{pmatrix}$$ となるので、確かに $b$ と一致する。また $$4a_1-a_2=a_3+b=\begin{pmatrix}7\\2\\3\\3\end{pmatrix}$$ であるから、このベクトルが $V_1$ と $V_2$ の両方に属することも直接確認できる。

典型ミス

$V_1\cap V_2$ を求めるとき、$a_1,a_2,a_3,b$ の4本の一次関係だけを求めて終わると、交わりのベクトルそのものを書き落としやすい。答案では、係数の自由度から次元を述べ、さらに実際の基底ベクトルまで明記する。

方針

部分空間 $V$ の不変性は、基底ベクトルの像が再び $V$ の一次結合で書けることを示せば十分である。対角化は固有値の重複度と固有空間の次元を分けて確認する。

試験で書くべきポイント

$Av_1$ と $Av_2$ を具体的に計算し、 $$Av_1=v_1,\qquad Av_2=2v_1+2v_2$$ と書くところが中心である。ここを書けば、$f(V)\subset V$ と表現行列 $B$ の両方が自然に出る。

典型ミス

固有値 $0$ の代数的重複度は2である。ここで固有ベクトルを1本しか取らないと、誤って非対角化可能と判断してしまう。零固有値の固有空間が2次元であることを明示するのが安全である。

方針

指数因子は常に正なので、停留点は指数因子を除いた偏微分方程式から求める。最大値の存在は、無限遠で $f$ が $0$ に近づくことを示して閉円板上の最大値問題に帰着する。

鞍点の確認

$(0,1)$ の近くで $x$ 方向を見ると $$f(x,1)=(2x^2+1)e^{-x^2-1} =e^{-1}(1+x^2+O(x^4))$$ となり増加する。一方で $y$ 方向には $y=1$ で局所最大になる。したがって $(0,\pm1)$ は極値ではない。

典型ミス

停留点の値だけを比べて「最大値」と書くには、最大値の存在の議論が不足する。多変数関数では、無限遠での挙動を必ず確認する。

方針

各点収束では $x$ を固定するため、$n^6x^4$ の指数減衰が効く。一様収束では $x$ も $n$ に合わせて動かせるため、最大値付近を追う反例を作る。

なぜ $g$ を使うか

$x>0$ に対して $$f_n(x)=\frac{g(n^3x^2)}{n^2x^{3/2}}$$ と書ける。これにより、固定した $x$ に対して $\sum n^{-2}$ で比較できる。

典型ミス

各点収束の比較で得る上界には $x^{-3/2}$ が含まれる。この上界は $x$ に依存するため、一様収束の証明には使えない。むしろ $x=0$ 付近で山が鋭くなることが、一様収束を壊している。

方針

ジョルダン細胞の個数は、各固有値に対する固有空間の次元の和である。まず固有多項式を見て、1個のジョルダン細胞だけで済む可能性があるかを調べる。

検算

$a=-2$ のとき $\chi_A(t)=(t+1)^4$ である。また $$\operatorname{rank}(A+I)=3$$ なので固有空間は1次元である。4次行列で固有空間が1次元なら、ジョルダン細胞は1個でなければならない。

典型ミス

固有多項式が $(t+1)^4$ であることだけでは、ジョルダン細胞が1個とは限らない。必ず $\dim\ker(A+I)$ を確認する。逆に、ここではそれが1なので、サイズ4のジョルダン細胞1個と結論できる。

方針

イデアル積と共通部分の基本関係は、まず $IJ\subset I\cap J$ を示し、逆向きは $1=u+v$ という表示を使って示す。これは互いに素なイデアルの標準手法である。

設問の注意

極大イデアル $M$ と別のイデアル $J$ について、$J\not\subset M$ なら $M+J=R$ である。しかし $J\subset M$ の場合は $M+J=M$ であり、互いに素とは限らない。したがって、設問の文言をそのまま読むと反例がある。

試験で書くべきポイント

最後の具体例では $$1=x+y-(x+y-1)$$ を一行で示せば $I+J=R$ が分かる。あとは $IJ$ の生成元を書けばよい。最小生成系である必要はなく、「一組」を求める問題ではこの4元表示で十分である。

方針

第1基本量が $$ds^2=\frac{4}{(1+u^2+v^2)^2}(du^2+dv^2)$$ という形になることが本問の核心である。これは平面の計量に正のスカラーを掛けた形なので、長さは変わるが角度は変わらない。

検算

$p(u,v)$ は $$\left(\frac{2u}{r^2+1}\right)^2+ \left(\frac{2v}{r^2+1}\right)^2+ \left(\frac{r^2-1}{r^2+1}\right)^2=1$$ を満たす。したがって曲面は単位球面上にあり、得られる計量がステレオ投影の標準形になることとも整合する。

典型ミス

角度保存を示すとき、内積だけを比較して終わってはいけない。分母のノルムにも同じ倍率がかかることを示し、余弦が一致するところまで書く。

方針

$d_1$ は和の距離、$d_2$ はユークリッド型の距離である。両者の位相の比較は $$d_2\le d_1\le \sqrt2\,d_2$$ の一行に集約される。

直積位相との比較

直積位相の基本近傍は $U\times V$ である。距離球と直積型の開集合が互いに含み合うことを、点ごとに示せばよい。

典型ミス

位相の一致を示すとき、開集合全体を直接比較しようとすると煩雑になる。各点の近傍基、すなわち開球の包含関係を使うのが簡潔である。

方針

前半2問は成分計算で確実に示す。最後は、体積積分を発散定理で境界積分に変換し、球面上で $\nabla f$ が法線方向を向くことを使う。

検算

$D$ は半径 $\sqrt r$ の閉球である。境界上で $\nabla f=2(x,y,z)$ は外向き単位法線 $n=(x,y,z)/\sqrt r$ と平行であるため、任意のベクトル $F$ に対して $F\times\nabla f$ は接方向を向く。したがって法線成分は $0$ になる。

典型ミス

最後の積分で $\operatorname{div}(\operatorname{rot}F)=0$ を直接使おうとしても、被積分関数は $\operatorname{rot}F\cdot\nabla f$ なのでそのままでは合わない。$\operatorname{div}(F\times\nabla f)$ に変形するのが要点である。

方針

分母 $e^{2\pi iz}-1$ は整数点に単純零点を持つため、長方形内の整数値の和を留数で拾える。上下の水平線では指定された幾何級数展開を使い、$f$ の極 $\pm i$ の留数へ変換する。

向きの注意

$C_3$ は右から左へ進む。展開式にも負号があるため、左から右向きの直線積分に直すと符号が打ち消される。この符号を落とすと最終的に $\coth\pi$ ではなく誤った双曲関数が出る。

検算

数値的には $$\frac{\pi\coth\pi-1}{2}\approx 1.0767$$ であり、初項からの部分和 $$\frac12+\frac15+\frac1{10}+\frac1{17}+\cdots$$ と整合する。

方針

方程式の係数が多項式なので、べき級数を代入して係数比較する。偶数次と奇数次が分離するため、初期条件 $a_0,a_1$ から2つの基本解が自然に得られる。

整数でない条件

$\nu$ が非負整数の場合、片方の級数が途中で止まってエルミート多項式になることがある。本問では $\nu$ は整数でないので、一般には無限級数として書くのが自然である。

典型ミス

収束半径を示すとき、係数 $a_n$ そのものではなく、項 $$a_nx^n$$ の比を調べる必要がある。偶数列と奇数列を分けて比を取れば、任意の固定 $x$ に対して比が $0$ に収束することが分かる。

方針

漸化式は「最後の項」に注目する。和の公式は「$2$ を何個使うか」に注目する。どちらも、順序を区別する条件を自然に反映している。

検算

$n=4$ では公式から $$\binom40+\binom31+\binom22=1+3+1=5$$ である。実際、$1111,112,121,211,22$ の5通りである。

典型ミス

$2$ が $k$ 個あるとき、残りの和は $n-2k$ なので $1$ の個数は $n-2k$ 個である。総項数を $n$ として $\binom nk$ としてしまう誤りが多い。正しくは総項数 $n-k$ から $2$ の位置を選ぶ。

方針

このアルゴリズムは通常の積の値そのものではなく、「正の寄与が存在するかどうか」を保存している。非負整数という条件により、和が $0$ であることと各項がすべて $0$ であることが同値になる。

アルゴリズムの意味

固定した $i,j$ に対して、$c_{ij}$ は $$a_{ik}>0$$ となる $k$ に対応する $b_{kj}$ の最大値である。したがって $c_{ij}=0$ とは、そのような $k$ について $b_{kj}$ がすべて $0$ であるという意味である。

典型ミス

通常の行列積では $a_{ik}$ の値そのものが重みとして効くが、アルゴリズム $P$ では $a_{ik}$ は $0$ か正かだけを見ている。そのため具体例では $AB$ の第2行が $(2,0,2)$ になる一方、$C$ の第2行は $(1,0,1)$ になる。