都立大 理学研究科 数理科学専攻 数学 2024年度夏季 院試 解答例・解説

方針

底が $1$ に近づき，指数が $x^2$ で大きくなる形なので，対数を取って $$x^2\log\frac{x}{x+2}$$ を調べるのが最も安定する。微分でも収束判定でも同じ対数量が中心になる。

単調性で落としやすい点

$\log(1-t)\leq -t$ だけを使うと符号評価が粗くなることがある。本問では $\log u\leq u-1$ を使うと $$\log\frac{x}{x+2}+\frac{1}{x+2}<0$$ がすぐ出る。最後に $f(x)>0$ を明記してから $f'(x)<0$ と結論する。

級数と広義積分

$f(x)^{1/x}\to e^{-2}<1$ なので級数は根判定法そのものでよい。広義積分は $\log f(x)\sim -2x$ から指数関数で上から押さえる。ここで単調減少性を用いた 積分判定法にこだわる必要はない。

方針

(1) はレベル曲面の接平面，(2) は対称性，(3) は楕円体を単位球へ直す変数変換が それぞれ主眼である。どれも計算量を減らす最初の一手を選べるかが重要である。

検算

(2) では領域の面積が $2$ で，被積分関数は非負なので答は正になる。 (3) では単位球上の $\int r^2\,dV=4\pi/5$ に伸縮率 $6$ が掛かるので $24\pi/5$ になる。ヤコビアンを掛け忘れると $4\pi/5$ になってしまう。

試験で書くべきポイント

接平面では法線ベクトルが $\nabla F$ であること，重積分では使用した対称性と 変数変換のヤコビアンを明記する。答だけを書くと部分点を落としやすい。

方針

$F^{-1}(V)$ の次元は，直接すべての連立方程式を解いても求まるが， $$\dim F^{-1}(V)=\dim\ker F+\dim(V\cap\operatorname{Im}F)$$ を使うと構造が見える。像と $V$ をそれぞれ平面として把握するのが短い。

典型ミス

$B$ が正則でないことから $V=\mathbb{R}^3$ ではない，と分かるだけで， $\dim V=1$ とは限らない。本問では $\operatorname{rank}B=2$ である。 また $b_1\notin\operatorname{Im}F$ の判定では，拡大係数行列を計算する代わりに 像の法線ベクトルを使うと計算が安定する。

検算

$\dim\ker F=2$，$\dim(V\cap\operatorname{Im}F)=1$ なので答は $3$。 $F^{-1}(V)\subset\mathbb{R}^4$ であるから，次元が $4$ を超えないことも 自然に確認できる。

方針

固有多項式から固有値の重複度を読み，固有空間の次元が代数的重複度に足りるかを 見る。ここでは固有値 $1$ の固有空間が常に 3 次元であることが決定的である。

なぜ $a=1$ だけが除外されるか

$a\neq 1$ なら固有値 $1$ と $a$ が異なるので，それぞれの固有空間から取った 固有ベクトルは自動的に一次独立になる。一方 $a=1$ では固有値が 1 つに潰れ， 固有空間の次元が $3$ にとどまるため，4 本の一次独立な固有ベクトルが揃わない。

試験で書くべきポイント

固有多項式だけでは対角化可能性は決まらない。重複固有値 $1$ の固有空間の次元を 必ず書く。また $P$ は列に固有ベクトルを並べるので，対角成分の順序と列の順序を 一致させる。

方針

最小多項式は「各固有値に対する最大ジョルダン細胞サイズ」を記録する。 本問では次数が 5 以上という条件が，3 個の固有値がすべて現れることと， 最大サイズの組が $(1,2,2)$ であることを強制している。

列挙の考え方

6 次行列で，最低限必要な次元は $$1+2+2=5$$ である。残り 1 次元を $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ のどこへ足すかで 3 通りに 分かれる。ただし $\alpha_2,\alpha_3$ では最大サイズが 2 でなければならないため， 3 次元にする場合は $2+1$ の分割だけが許される。

典型ミス

$f(A)=O$ からすぐ $m_A=f$ としてはいけない。最小多項式は $f$ の約数であり， 次数条件や追加条件を使って初めて具体的に決まる。

方針

べき等元 $e^2=e$ があると，$A$ は $e$ 側と $1-e$ 側に分かれる。本問の $\phi(x)=ex$ は $e$ 側への射影であり，核は反対側の $(1-e)A$ になる。

単位元の注意

$eA$ の単位元は $A$ の単位元 $1$ ではなく $e$ である。環準同型を示すときも $\phi(1)=e$ を確認する必要がある。

典型ミス

$\ker\phi=\{x\mid ex=0\}$ まではすぐ出るが，これを単項イデアルとして $(1-e)A$ と同一視する一行 $$x=ex+(1-e)x$$ を書かないと証明が完結しない。

方針

この曲線は弧長パラメータ表示された円螺旋である。まず Frenet 枠 $(e_1,e_2,e_3)$ を確定し，管状曲面の標準計算に持ち込む。

向きの確認

$$p_u\times p_v=-r(1-r\kappa\cos v)(\cos v\,e_2+\sin v\,e_3)$$ である。指定は $-p_u\times p_v$ と同じ向きなので，法線は $\cos v\,e_2+\sin v\,e_3$ になる。ここを逆にするとガウス曲率の表示で符号を 取り違えやすい。

検算

管状曲面の公式として $$K=-\frac{\kappa\cos v}{r(1-r\kappa\cos v)}$$ が得られる。捩率 $\tau$ は途中の基本量には現れるが，最終的なガウス曲率からは 消える。計算結果に $\tau$ が残った場合は第1・第2基本量の行列式を再確認する。

方針

商空間 $X$ の点は $f$ の値ごとの同値類である。したがって $X$ は実質的に 値集合 $f(\mathbb{R})$ と同じ点集合を持つ，という見方を使う。

ハウスドルフ性

連続単射 $$\widetilde f:X\to\mathbb{R}$$ が作れれば，実数直線のハウスドルフ性を引き戻して 2 点を分離できる。 連続単射の存在だけで十分であり，ここで $X$ と $f(\mathbb{R})$ が同相であることまで 示す必要はない。

コンパクト性の要点

最大値・最小値を取る点 $a,b$ を結ぶ閉区間だけで全ての値が実現される。 したがって商空間全体がコンパクト集合 $[a,b]$ の連続像になる。この発想を使うと， $\mathbb{R}$ 全体が非コンパクトであることに惑わされない。

方針

これは Green の第1公式と第2公式である。覚えている公式を書くより， $$\operatorname{div}(f\nabla g)=f\Delta g+\nabla f\cdot\nabla g$$ から出発すると符号を間違えにくい。

境界の向き

法線微分を使った流束表示では，境界の向きよりも外向き法線 $n$ の向きが重要である。 Green の定理の線積分表示に直す場合は，境界が領域を左に見る向きであることと 外向き法線の対応を確認する。

試験で書くべきポイント

$f,g$ が $C^2$ 級，境界が $C^1$ 級なので発散定理を適用できる，という正当化を 一言入れる。第2公式では勾配の内積項が相殺されることを明示する。

方針

三角関数積分は $z=e^{i\theta}$ によって有理関数の周回積分へ変換する。 このとき，三角関数の変換だけでなく $$d\theta=\frac{dz}{iz}$$ を必ず掛ける。

極の位置

$-2-\sqrt3$ は絶対値が $1$ より大きいので単位円外にある。 $-2+\sqrt3$ は $-1< -2+\sqrt3<0$ なので単位円内にある。 内部の極だけを留数和に入れる。

検算

被積分関数は非負であり，答 $$\pi(4-2\sqrt3)$$ も正である。符号が負になった場合は，$1/i=-i$ と留数定理の $2\pi i$ の掛け合わせを確認する。

方針

係数行列は「回転」と「スカラー倍」の和である。問題で与えられた回転変換は， 回転成分をちょうど打ち消し，$X,Y$ を独立なスカラー方程式にするためのもの。

検算

$q(t)=e^{-t}$ の積分は $1-e^{-t}$ であり，$e^{-e^{-t}}$ ではない。 初期値 $X(0)=1,Y(0)=2$ を代入すると，得られた式は確かに $$X(0)=1,\qquad Y(0)=2$$ を満たす。

試験で書くべきポイント

最後の極限近似では $$x(t)=X(t)\cos t+Y(t)\sin t$$ に戻す必要がある。$X,Y$ の極限だけを書いても，求める $\alpha,\beta$ には到達しない。

方針

(1) は Havel--Hakimi 法の考え方で，高次数の頂点から順に必要な本数だけ辺を張ると 作りやすい。(3) は「次数は $0$ から $n-1$ まで」という範囲と， $0$ と $n-1$ が同時に出られないことが核心である。

典型ミス

(2) で次数和が奇数だから，と書くのは本問では使えない。実際 $$6+5+4+3+3+3=24$$ は偶数である。不可能な理由は，6 頂点単純グラフの最大次数が $5$ だからである。

試験で書くべきポイント

「単純」グラフなのでループや多重辺で次数を増やすことはできない。 最大次数 $n-1$ の理由も，隣接できる相手が自分以外の $n-1$ 頂点だけだからである。

方針

置換 $T$ は文字列の連結を保つ射である。このため $B_n$ はフィボナッチ語になり， 長さはフィボナッチ数で支配される。

``01'' の数え方

置換後に ``01'' が文字の内部から生じることはない。$1\mapsto 10$，$0\mapsto 1$ なので，``01'' は必ず隣り合う 2 つの像の境目で生じる。境目の左側が $1$ の像の 末尾 $0$ であるときだけ ``01'' になる。

典型ミス

$B_n$ に含まれる $1$ の個数をそのまま $c_{n+1}$ とすると，末尾が $1$ の場合に 1 個多く数えてしまう。末尾の像 $10$ の後には次の文字がないため，末尾補正が必要である。