都立大 理学研究科 数理科学専攻 数学 2025年度冬季 院試 解答例・解説

方針

線形写像かどうかは，まず定数項と2次以上の項が消えるかを見る。本問では第1成分の $x^2$ の係数だけを確認すればよい。表現行列を作ったあとは，$\mathbb{R}^3$ から $\mathbb{R}^4$ への写像なので，単射性は3本の列の一次独立性で判定する。

検算

$b=-1$ のときだけ全ての3次小行列式が0になる。実際，このとき $(3,-1,1)^T$ が核に入るので，階数は3ではない。逆に $b\ne -1$ なら $\det A_{\{1,2,4\}}=-(b+1)\ne0$ で，階数3がただちに従う。

典型ミス

$b\ne -1$ の場合に $V=\{0\}$ だからといって $V+W=\mathbb{R}^3$ としてはいけない。この場合の和は $W$ そのもので， 2本の一次独立なベクトルで張られる平面にすぎない。$b=-1$ の場合も，核の生成ベクトルが すでに $W$ に含まれているため，次元は増えない。

試験で書くべきポイント

小行列式を一つだけ計算して $b\ne -1$ を示すだけでは，$b=-1$ のときに本当に階数が 落ちることの確認が弱い。全ての3次小行列式が $b+1$ を因子にもつこと，または $b=-1$ で明示的な核ベクトルを示すことまで書くと答案として安定する。

方針

固有値が指定されている問題では，まず特性多項式の係数比較を行うのが最短である。 特に本問では $(t-1)(t+1)$ が因子として現れるため，残りの2次式だけを比較すれば $b,c$ が決まる。

対角化条件の見方

重複している固有値は $-1$ だけである。固有値 $1,2$ の固有空間は少なくとも1次元 ずつあるので，対角化の可否は $-1$ の固有空間が代数的重複度2に届くかどうかだけを 見ればよい。したがって $\operatorname{rank}(A+E)=2$ を調べる問題に帰着する。

余因子行列の扱い

余因子行列は正則行列に対して $\widetilde A=(\det A)A^{-1}$ と書ける。ここで $\det A=2$ なので，各固有値上で $2/t$ と一致する2次多項式を補間すればよい。 対角化可能性を仮定しているから，固有値上で一致すれば行列に代入しても一致する。

検算

$a=-2$ のとき、示した二つのベクトルはどちらも $(A+E)v=0$ を満たし、互いに一次独立である。したがって $-1$ の固有空間が確かに二次元であることを確認できる。

典型ミス

最小多項式に $(t+1)^2$ を残してしまうミスが多い。これは対角化できない場合の ジョルダンブロックを反映する因子であり，本問の(iii)では $a=-2$ が仮定されている。 したがって重複固有値であっても，最小多項式には一次因子 $t+1$ が一回だけ現れる。

試験で書くべきポイント

係数比較で $b,c$ を決めた後、対角化条件では重複固有値 $-1$ の固有空間だけを調べる、と書くと答案が短くなる。余因子行列は $(\det A)A^{-1}$ に直してから固有値上の補間で処理する。

方針

広義積分は，問題のある場所を分けるのが基本である。三角関数の積分では $\sin x$ が0になる $x=0$ だけが問題になる。二重積分では，原点の特異性と 帯状領域の無限遠の両方を確認する必要がある。

比較の注意

$\alpha<0$ のときは，正の数に負の冪を取るため，不等号の向きが反転する。 例えば $\sin x\le x$ から $(\sin x)^\alpha\ge x^\alpha$ が従う。 収束側を示すときには下からの評価ではなく，上から $Cx^\alpha$ で押さえることが 必要である。

二重積分の検算

$\beta$ が大きいほど原点で発散しやすく，小さいほど無限遠で発散しやすい。 したがって答が $$\text{下限}<\beta<\text{上限}$$ という形になるのは自然である。原点で $\beta<1$，無限遠で $\beta>1/2$ と 役割を分けて覚えると混同しにくい。

試験で書くべきポイント

帯状領域は全平面ではないが，原点近くでは半円盤と同程度の領域を含み，またそれに 含まれるため，極座標による判定が使える。無限遠では $y$ が $0<y<1$ に制限されて いるので，実質的には1次元の積分 $\int^\infty x^{-2\beta}\,dx$ が支配する。

方針

偶数階の階乗だけが現れる級数なので，$\cosh$ と $\cos$ に結びつけるのが核心である。 $x\ge0$ では $\cosh\sqrt{x}$，$x\le0$ では $\cos\sqrt{-x}$ になる。 特に $nx^2\ge0$ なので，後半では常に双曲線余弦の表示を使える。

絶対値が出る理由

$\tanh(\sqrt n\,x)$ は，$x>0$ では1へ，$x<0$ では $-1$ へ近づく。 これに前の $x$ が掛かるため，極限は $x$ ではなく $|x|$ になる。 $x=0$ も別に確認しておくと，点ごとの極限の記述が完全になる。

一様収束の検算

極限関数 $|x|$ は無限大で大きくなるため，一見すると全実数上の一様収束は怪しく見える。 しかし差は $$|x|\{1-\tanh(\sqrt n\,|x|)\}$$ であり，大きな $|x|$ では $\tanh$ が指数的に1へ近づく。この指数減衰が $|x|$ の増大に勝つため，全実数上でも一様収束する。

典型ミス

$f(nx^2)=\cosh(\sqrt n\,|x|)$ と書いたあと，絶対値の微分で場合分けを複雑に しすぎることがある。 $\cosh$ は偶関数なので $\cosh(\sqrt n\,|x|)=\cosh(\sqrt n\,x)$ としてから微分すれば，$x=0$ も含めて 自然に処理できる。

試験で書くべきポイント

一様収束の判定では、点ごとの極限だけでなく上限ノルムを評価する。 $$\sup_{x\in\mathbb R}\bigl|g_n(x)-|x|\bigr|\le \frac{C}{\sqrt n}$$ まで書けば、全実数上での一様収束を明確に示せる。