# 級数と一様収束｜収束判定法・べき級数の収束半径・項別微分と項別積分

> 数列の級数の収束判定法（比較・比・根・積分・交代級数）、べき級数の収束半径、関数列の各点収束と一様収束の違い、ワイエルシュトラスのM判定法、極限と積分・微分の交換の条件を解説。計算例と典型的な誤りも載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16
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級数 $\sum a_n$ は部分和 $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ が収束するとき収束するという。収束の判定には比較・比・根・積分・交代級数の判定法を使い、べき級数 $\sum c_n x^n$ は収束半径 $R$ の内側で絶対収束し、外側で発散する。関数列 $f_n$ が $f$ に一様収束するとは、$\sup_x |f_n(x) - f(x)| \to 0$ となることで、各点収束より強い。一様収束なら極限関数は連続性を保ち、極限と積分の順序を交換できる。

## 級数の収束と関数列の一様収束の定義

### 定義：級数の収束と絶対収束

部分和 $S_N = a_1 + \cdots + a_N$ が $N \to \infty$ で有限の値 $S$ に収束するとき、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は収束するといい、その和を $S$ とする。$\sum |a_n|$ が収束するとき絶対収束という。絶対収束する級数は収束し、項の順序を並べ替えても和は変わらない。条件収束する級数は、並べ替えで和が変わり得る。

### 定義：各点収束と一様収束

区間 $I$ 上の関数列 $\{f_n\}$ を考える。各 $x \in I$ で $f_n(x) \to f(x)$ となるとき各点収束という。

$$\sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)| \to 0 \quad (n \to \infty)$$

となるとき一様収束という。各点収束では $x$ ごとに必要な $n$ の大きさが違ってよいが、一様収束では $I$ のすべての $x$ に共通の $n$ で誤差を $\varepsilon$ 未満にできる。関数項級数 $\sum u_n(x)$ の一様収束は、部分和の関数列の一様収束で定める。

## 正項級数と交代級数の収束判定法

### 定理・法則：収束の必要条件

条件：

$\sum a_n$ が収束する。

主張：

$a_n \to 0$ である。逆は成り立たない。

要点：

$a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$。調和級数 $\sum 1/n$ は $1/n \to 0$ だが発散する。

### 主な判定法

- 比較判定法

  $$0 \le a_n \le b_n,\ \sum b_n < \infty \Rightarrow \sum a_n < \infty$$

  比較の相手は等比級数 $\sum r^n$（$|r| < 1$ で収束）と $\sum 1/n^p$（$p > 1$ で収束、$p \le 1$ で発散）が多い。

- 比判定法（ダランベール）

  $$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r: \quad r < 1 \Rightarrow \text{絶対収束}, \quad r > 1 \Rightarrow \text{発散}$$

  $r = 1$ では判定できない。$\sum 1/n$ と $\sum 1/n^2$ はどちらも $r = 1$。

- 根判定法（コーシー）

  $$\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} = r: \quad r < 1 \Rightarrow \text{絶対収束}, \quad r > 1 \Rightarrow \text{発散}$$

- 積分判定法

  $$f \ge 0 \text{ が単調減少}: \quad \sum_{n=1}^{\infty} f(n) < \infty \iff \int_1^\infty f(x)\,dx < \infty$$

  $\sum 1/(n\log n)$ は $\int_2^\infty dx/(x\log x) = \infty$ から発散する。

- 交代級数（ライプニッツ）

  $$a_n \ge a_{n+1} \ge 0,\ a_n \to 0 \Rightarrow \sum (-1)^{n-1}a_n \text{ は収束}$$

  部分和の誤差は $|S - S_N| \le a_{N+1}$。$1 - 1/2 + 1/3 - \cdots = \log 2$ は条件収束する。

### 計算例：比判定法

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$ の収束を判定せよ。

解答：

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \left(\frac{n}{n + 1}\right)^n = \frac{1}{(1 + 1/n)^n} \to \frac{1}{e} < 1$$

なので収束する。

検算：

$a_n = n!/n^n$ で $a_1 = 1$、$a_2 = 1/2$、$a_3 = 2/9$ と速く減る。$n \ge 2$ で $a_n \le 2/n^2$（$n!/n^n = \tfrac{1}{n}\cdot\tfrac{2}{n}\cdot\tfrac{3}{n}\cdots\tfrac{n}{n} \le \tfrac{1}{n}\cdot\tfrac{2}{n}$）なので、比較判定法でも収束が分かる。

## べき級数の収束半径

### 定理・法則：収束半径（コーシー・アダマールの公式）

条件：

べき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n$。

主張：

$$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |c_n|^{1/n}$$

で $R$（$0 \le R \le \infty$）を定めると、$|x - a| < R$ で絶対収束し、$|x - a| > R$ で発散する。$\lim |c_n/c_{n+1}|$ が存在すれば、それも $R$ に等しい。

要点：

$|x - a| = R$ の端点での収束は公式からは分からないので、点ごとに別の判定法で調べる。$0 < r < R$ なら $|x - a| \le r$ で一様収束する。

### 計算例：収束半径と端点での収束

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n\,2^n}$ が収束する $x$ の範囲を求めよ。

解答：

$c_n = 1/(n\,2^n)$ で $\left|\dfrac{c_n}{c_{n+1}}\right| = \dfrac{2(n + 1)}{n} \to 2$ なので $R = 2$。端点を調べる。

- $x = 2$：$\sum 1/n$ で発散。
- $x = -2$：$\sum (-1)^n/n$ で、交代級数の判定法から収束。

よって範囲は $-2 \le x < 2$。

検算：

$|x| < 2$ でこの級数は $-\log(1 - x/2)$ に等しい。$x = -2$ では $-\log 2$ となり、$\sum_{n \ge 1} (-1)^n/n = -\log 2$ と一致する。$x \to 2$ では $-\log(1 - x/2) \to \infty$ で、発散とも合う。

## 一様収束と極限の交換

### 定理・法則：ワイエルシュトラスのM判定法

条件：

区間 $I$ 上で $|u_n(x)| \le M_n$（$M_n$ は $x$ によらない定数）で、$\sum M_n < \infty$。

主張：

$\sum u_n(x)$ は $I$ 上で一様に（かつ絶対）収束する。

要点：

例: $\sum \sin(nx)/n^2$ は $|\sin(nx)/n^2| \le 1/n^2$ から実数全体で一様収束し、和は連続関数である。

### 定理・法則：一様収束と連続性・積分

条件：

$f_n$ は有界閉区間 $[a, b]$ で連続で、$f$ に一様収束する。

主張：

$f$ は $[a, b]$ で連続で

$$\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$$

が成り立つ。級数なら項別積分 $\int \sum u_n = \sum \int u_n$ ができる。

要点：

$\left|\int_a^b (f_n - f)\right| \le (b - a)\sup |f_n - f| \to 0$ から出る。各点収束だけでは成り立たない。

### 定理・法則：項別微分

条件：

$f_n$ は $[a, b]$ で $C^1$ 級、$f_n'$ が $[a, b]$ で一様収束し、ある1点 $x_0$ で $f_n(x_0)$ が収束する。

主張：

$f_n$ は $[a, b]$ で一様収束し、極限 $f$ は微分可能で $f' = \lim f_n'$ である。

要点：

$f_n$ 自体が一様収束しても、$f_n'$ が収束するとは限らない。$f_n = \sin(nx)/n$ は $0$ に一様収束するが、$f_n' = \cos(nx)$ は収束しない。べき級数は収束半径の内側で項別に微分・積分でき、収束半径は変わらない。たとえば $1/(1 + t^2) = \sum_{n \ge 0} (-1)^n t^{2n}$ を $0$ から $x$ まで項別積分すると、$|x| < 1$ で $\arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - \cdots$ が出る。

### 計算例：各点収束だが一様収束しない関数列

$f_n(x) = x^n$ の $[0, 1]$ と $[0, a]$（$0 < a < 1$）上での収束を調べよ。

解答：

$0 \le x < 1$ で $x^n \to 0$、$x = 1$ で $1^n = 1$ なので、極限 $f$ は $[0, 1)$ で $0$、$x = 1$ で $1$ となり不連続である。$\sup_{[0, 1]} |f_n - f| = \sup_{0 \le x < 1} x^n = 1$ で $0$ に収束しないから、$[0, 1]$ では一様収束しない。$[0, a]$ では $\sup |f_n| = a^n \to 0$ で一様収束する。

検算：

連続関数の一様収束極限は連続である。極限が不連続になったことだけからも、$[0, 1]$ で一様収束しないと分かる。

### 計算例：極限と積分が交換できない例

$f_n(x) = n x e^{-n x^2}$ について、$\lim_{n \to \infty}\int_0^1 f_n\,dx$ と $\int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_n\,dx$ を比べよ。

解答：

$\int_0^1 n x e^{-n x^2}\,dx = \left[-\tfrac{1}{2}e^{-n x^2}\right]_0^1 = \dfrac{1 - e^{-n}}{2} \to \dfrac{1}{2}$。一方、各 $x \in [0, 1]$ で $f_n(x) \to 0$ なので、極限関数の積分は $0$。2つは一致しない。

検算：

$f_n$ は $x = 1/\sqrt{2n}$ で最大値 $\sqrt{n/2}\,e^{-1/2}$ をとり、これは $n \to \infty$ で発散する。$\sup |f_n - 0| \not\to 0$ なので一様収束せず、上の定理の条件を満たさない。

## 答案でよくある誤り

1. $a_n \to 0$ から $\sum a_n$ の収束を結論する。$a_n \to 0$ は必要条件で、$\sum 1/n$ は発散する。判定法を1つ選んで示す。
2. 比判定法で比の極限が $1$ のときに収束・発散を書く。$r = 1$ では判定できないので、比較判定法や積分判定法に切り替える。
3. 収束半径を求めたあと、端点を調べずに範囲を開区間で答える。端点は別の級数になるので、1つずつ判定する。
4. 各点収束から極限と積分の交換をする。$n x e^{-n x^2}$ のように交換できない例がある。$\sup_x |f_n - f| \to 0$ を示すか、M判定法を使う。
5. 一様収束を示すのに、固定した $x$ で $|f_n(x) - f(x)| \to 0$ を書くだけで終える。これは各点収束である。$x$ について上限をとった量が $0$ に収束することを示す。
6. $f_n$ が一様収束すれば項別微分できると考える。条件は導関数の列 $f_n'$ の一様収束である。

## 級数と一様収束が出た院試の過去問

### [一様収束](https://inshihub.com/exam-themes/uniform-convergence)（15大学・69問）

- [名古屋大学大学院 数学 2026年度 第6問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-university/graduate-school-of-mathematics/mathematics/2026#problem-6): 後期 2 日目 第 2 問 関数列の積分・極限
- [大阪公立大学大学院 数学 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/osaka-metropolitan-university/graduate-school-of-science/mathematics/2026-spring#problem-2): 積分と一様収束
- [岡山大学大学院 数学 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/okayama-university/graduate-school-of-environmental-life-natural-science-and-technology/mathematical-sciences-mathematics/2026-first#problem-3): 級数と広義積分
- [広島大学大学院 数学 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/hiroshima-university/graduate-school-of-advanced-science-and-engineering/mathematics/2026-a#problem-2): 一様連続性・関数項級数・広義重積分
- [東京大学 専門科目B 2026年度 第8問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-mathematical-sciences/specialized-subject-b/2026#problem-8): コンパクト距離空間の非拡大全射
- [東京都立大学大学院 数学 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-metropolitan-university/graduate-school-of-science/mathematics/2026-winter#problem-3): 関数項級数

解答まで無料で読める演習問題:

- [大阪大学 数学 2024年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/osaka-university/graduate-school-of-science/mathematics/2024-first#problem-1): A-1 一様収束と幾何級数
- [東京大学 数理情報学 2024年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/information-science/mathematical-informatics/2024#problem-3): 一方向三角多項式による近似
- [広島大学大学院 数学 2023年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/hiroshima-university/graduate-school-of-advanced-science-and-engineering/mathematics/2023-b#problem-2): 多変数関数の連続・偏微分・重積分
- [静岡大学大学院 数学 2023年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/shizuoka-university/graduate-school-of-integrated-science-and-technology/mathematics/2023-second#problem-2): 解析