# テイラー展開｜剰余項・マクローリン展開・近似の誤差評価

> テイラーの定理（ラグランジュ型・ペアノ型の剰余項）、主な関数のマクローリン展開と収束半径、テイラー展開による極限の計算と近似値の誤差評価を数式で解説。展開できない関数の例と典型的な誤りも載せています。

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- 科目: [微分積分](https://inshihub.com/basics/calculus)（大学基礎課程の数学・物理・化学・生物・情報）
- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [微分と平均値の定理](https://inshihub.com/basics/calculus/differentiation-mean-value-theorem)

$n$ 回微分可能な関数 $f$ は、点 $a$ の近くで $n$ 次のテイラー多項式 $\sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(a)(x - a)^k / k!$ で近似でき、誤差は剰余項 $R_{n}$ で表される。$a = 0$ のときをマクローリン展開という。不定形の極限は展開を代入して主要項を比べれば求まり、近似値の誤差はラグランジュ型の剰余項で上から評価する。無限級数としてのテイラー級数が $f$ に一致するのは、剰余項が $0$ に収束する範囲に限る。

## テイラー多項式とマクローリン展開の定義

### 定義：テイラー多項式

$f$ が $a$ で $n$ 回微分可能なとき

$$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k = f(a) + f'(a)(x - a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$$

を $a$ における $n$ 次のテイラー多項式という。$P_n$ は $f$ と $a$ での値および $n$ 階までの微分係数が一致する、ただ1つの $n$ 次以下の多項式である。$R_n(x) = f(x) - P_n(x)$ を剰余項という。

### 定義：テイラー級数とマクローリン級数

$f$ が $a$ の近くで何回でも微分可能なとき、べき級数 $\sum_{k=0}^{\infty} f^{(k)}(a)(x - a)^k / k!$ を $f$ の $a$ におけるテイラー級数、$a = 0$ のものをマクローリン級数という。ある $x$ で $R_n(x) \to 0$（$n \to \infty$）となるとき、級数はその $x$ で $f(x)$ に収束する。

## テイラーの定理と剰余項

### 定理・法則：テイラーの定理（ラグランジュ型の剰余項）

条件：

$f$ は $a$ と $x$ を含む開区間で $n + 1$ 回微分可能。

主張：

$$f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$$

となる $c$ が $a$ と $x$ の間に存在する。

要点：

$n = 0$ のときが平均値の定理である。一般の $n$ はコーシーの平均値の定理を繰り返し使うか、補助関数にロルの定理を使って示す。$c$ の位置は分からないので、誤差評価では $|f^{(n+1)}|$ の区間上の上界を使う。

### 定理・法則：テイラーの定理（ペアノ型の剰余項）

条件：

$f$ は $a$ で $n$ 回微分可能。

主張：

$$f(x) = P_n(x) + o\big((x - a)^n\big) \quad (x \to a)$$

つまり $R_n(x)/(x - a)^n \to 0$ である。

要点：

極限の計算に使う形である。$x \to a$ での振る舞いしか述べないので、特定の $x$ での誤差の大きさはこの形からは分からない。

何回でも微分可能でも、テイラー級数が $f$ に一致するとは限らない。$f(x) = e^{-1/x^2}$（$x \neq 0$）、$f(0) = 0$ はすべての階数で $f^{(k)}(0) = 0$ なので、マクローリン級数は恒等的に $0$ だが、$x \neq 0$ で $f(x) > 0$ である。

## 主な関数のマクローリン展開

### 展開と成り立つ範囲

- 指数関数

  $$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$$

  すべての実数 $x$ で成り立つ。

- 正弦・余弦

  $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots, \qquad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$

  すべての実数 $x$ で成り立つ。$\sin$ は奇数次、$\cos$ は偶数次の項だけをもつ。

- 対数

  $$\log(1 + x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$

  $-1 < x \le 1$ で成り立つ。$x = 1$ で $\log 2 = 1 - 1/2 + 1/3 - \cdots$。

- 一般二項展開

  $$(1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^k, \qquad \binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - k + 1)}{k!}$$

  $|x| < 1$ で成り立つ。例: $\sqrt{1 + x} = 1 + x/2 - x^2/8 + \cdots$。

- 等比級数・逆正接

  $$\frac{1}{1 - x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k, \qquad \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$$

  $1/(1 - x)$ は $|x| < 1$、$\arctan x$ は $|x| \le 1$ で成り立つ。

- 正接

  $$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$$

  $|x| < \pi/2$ で収束する。係数は $\sin x / \cos x$ の割り算で出す。

（図：HTML版では操作できる図を置いている。$\sin x$ と $e^x$ のマクローリン多項式の次数を変えると、多項式のグラフ（緑）が元の関数（灰色）に重なる範囲が変わる。次数を上げるほど、原点から離れた $x$ まで近似が合う。$\sin x$ では次数を2上げるごとに新しい項が加わり、近似の合う範囲が左右対称に広がる。）

## 極限の計算と誤差評価の例

### 計算例：テイラー展開で不定形の極限を求める

$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x \sin x - x - x^2}{x^3}$ を求めよ。

解答：

分母が $x^3$ なので、分子を3次まで展開する。

$$e^x \sin x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)\right)\left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) = x + x^2 + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right)x^3 + O(x^4)$$

よって分子は $\dfrac{x^3}{3} + O(x^4)$ で、極限は $\dfrac{1}{3}$。

検算：

$x = 0.01$ で数値計算すると、式の値は約 $0.33333$ で $1/3$ に近い。ロピタルの定理を3回使っても $1/3$ になる。

### 計算例：ラグランジュ型の剰余項で誤差を評価する

$e^x$ の4次のマクローリン多項式で $e$ の近似値を求め、誤差を評価せよ（$e < 3$ は使ってよい）。

解答：

$P_4(1) = 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{24} = \dfrac{65}{24} \approx 2.7083$。剰余項は $0 < c < 1$ として

$$R_4(1) = \frac{e^c}{5!} \cdot 1^5, \qquad \frac{1}{120} < R_4(1) < \frac{3}{120} = 0.025$$

よって $2.7166 < e < 2.7334$。

検算：

実際の誤差は $e - 65/24 \approx 0.00995$ で、評価の範囲 $(1/120, 3/120) \approx (0.0083, 0.025)$ に入る。

### 計算例：交代する展開の誤差

$\sin 0.1$ を $x - x^3/6$ で近似したときの誤差の上界を求めよ。

解答：

$\sin x$ の4次の項は $0$ なので、$x - x^3/6$ は4次のテイラー多項式でもある。ラグランジュ型の剰余項で $n = 4$ とすると $|R_4(x)| = |\cos c|\,|x|^5/5! \le |x|^5/120$。$x = 0.1$ で誤差は $10^{-5}/120 \approx 8.3 \times 10^{-8}$ 以下。近似値は $0.1 - 1/6000 = 599/6000 \approx 0.0998333$。

検算：

$\sin 0.1 = 0.09983341\ldots$ で、近似値との差は約 $8.33 \times 10^{-8}$。$|\cos c|$ が $1$ に近いので、上界とほぼ一致する。

## 答案でよくある誤り

1. 極限の計算で展開の次数が足りない。分母が $x^3$ なら分子は3次まで、積ではそれぞれの因子を、積が3次まで正しく出る次数まで展開する。
2. $O(x^n)$ や $o(x^n)$ の項を落として等号で書く。剰余の項を最後まで書き、どの次数まで確定しているかを示す。
3. 成り立つ範囲の外で展開を使う。$\log(1 + x)$ の級数は $x = 2$ で発散する。$\log 3$ を求めるなら $\log 3 = \log 2 + \log(1 + 1/2)$ のように範囲内に直す。
4. ラグランジュ型の剰余項の $c$ に展開の中心 $a$ を入れる。$c$ は $a$ と $x$ の間の未知の点なので、区間上での $|f^{(n+1)}|$ の最大値で評価する。
5. 何回でも微分可能ならテイラー級数は $f$ に一致すると考える。$e^{-1/x^2}$ のように一致しない関数がある。一致を示すには剰余項が $0$ に収束することを確かめる。

## テイラー展開が出た院試の過去問

### [テイラー展開](https://inshihub.com/exam-themes/taylor-expansion)（19大学・58問）

- [京都大学 専門科目（物理学） 2026年度 第10問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/physics-and-astronomy/2026#problem-10): II-4 物理数学(線積分・留数定理・テイラー展開)
- [北海道大学大学院 情報科学専攻 情報理工学コース 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/computer-science-and-information-technology/2026#problem-1): 基礎数学
- [北海道大学大学院 専門科目（地球惑星科学） 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-science/earth-and-planetary-sciences/2026-summer#problem-3): I-3 マクローリン展開
- [名古屋大学大学院 複雑系科学 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-university/graduate-school-of-informatics/complex-systems-science/2026#problem-2): 数2：二重極限・重積分と微分方程式
- [東京大学 専門科目（物理学） 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/physics/specialized-physics/2026#problem-1): 量子力学：周期ポテンシャルとバンドギャップ
- [東京大学 専門基礎科目（複雑理工学） 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-frontier-sciences/complexity-science-and-engineering/2026#problem-1): 微分積分

解答まで無料で読める演習問題:

- [北海道大学大学院 情報科学専攻 情報理工学コース 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/computer-science-and-information-technology/2026#problem-1): 基礎数学
- [東京大学 専門科目（物理学） 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/physics/specialized-physics/2026#problem-1): 量子力学：周期ポテンシャルとバンドギャップ
- [総合研究大学院大学 専門科目（天文科学コース） 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/sokendai/graduate-institute-for-advanced-studies/astronomical-science/2026#problem-2): 確率統計：ガウス分布と誤差伝播
- [東北大学大学院 機械系 数学・専門科目 2025年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tohoku-university/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering/2025#problem-1): 数学A-1