# 重積分｜累次積分・積分順序の交換・ヤコビアンによる変数変換

> 重積分の定義、フビニの定理による累次積分と積分順序の交換、変数変換の公式とヤコビアン、極座標・球座標での計算を数式で解説。ガウス積分、順序を変えると値が変わる例、典型的な誤りも載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16
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重積分 $\iint_D f(x, y)\,dx\,dy$ は、領域 $D$ を細かく分けたリーマン和の極限である。$f$ が連続で $D$ が有界閉領域なら、1変数の積分を2回行う累次積分で計算でき、積分の順序も交換できる。変数変換 $x = x(u, v)$、$y = y(u, v)$ では $dx\,dy$ をヤコビアンの絶対値 $|\partial(x, y)/\partial(u, v)|\,du\,dv$ に置き換える。極座標では $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ になる。

## 重積分と累次積分の定義

### 定義：長方形上の2重積分

長方形 $R = [a, b] \times [c, d]$ を小長方形 $R_{ij}$ に分け、各 $R_{ij}$ から点 $(\xi_i, \eta_j)$ を選んでリーマン和 $\sum f(\xi_i, \eta_j)\,|R_{ij}|$ をつくる。分割を細かくしたときに、点の選び方によらず一定の値に収束するなら、$f$ は $R$ で積分可能といい、その値を $\iint_R f\,dx\,dy$ と書く。一般の有界領域 $D$ では、$D$ を含む長方形上で $D$ の外を $0$ とした関数を積分する。

### 定義：縦線領域と累次積分

$D = \{(x, y) \mid a \le x \le b,\ \varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x)\}$（$\varphi_1, \varphi_2$ は連続）の形の領域を縦線領域という。この上での

$$\int_a^b \left( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y)\,dy \right) dx$$

を累次積分という。内側の積分では $x$ を定数として扱う。

## フビニの定理と積分順序の交換

### 定理・法則：フビニの定理

条件：

$D$ は縦線領域で、横線領域 $\{c \le y \le d,\ \psi_1(y) \le x \le \psi_2(y)\}$ としても表せる。$f$ は $D$ で連続。

主張：

$$\iint_D f\,dx\,dy = \int_a^b \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f\,dy\,dx = \int_c^d \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f\,dx\,dy$$

要点：

非有界な領域や非有界な関数では、$f \ge 0$ のとき、または $\iint |f| < \infty$ のときに順序を交換できる。この条件が崩れると、2つの累次積分が異なる値になることがある。

### 計算例：積分順序を交換して計算する

$\displaystyle \int_0^1 \int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$ を求めよ。

解答：

$e^{y^2}$ の原始関数は初等関数で書けないので、順序を交換する。領域は $0 \le x \le y \le 1$ で、横線領域として $0 \le y \le 1$、$0 \le x \le y$ と書ける。

$$\int_0^1 \int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy = \int_0^1 y e^{y^2}\,dy = \left[\frac{e^{y^2}}{2}\right]_0^1 = \frac{e - 1}{2}$$

検算：

数値積分すると約 $0.85914$ で、$(e - 1)/2 = 0.85914\ldots$ と一致する。領域の図を描いて、交換後の範囲が同じ三角形を表すかを確かめる。

### 計算例：順序を変えると値が変わる例

$f(x, y) = \dfrac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$ の $[0, 1]^2$ 上の2つの累次積分を比べよ。

解答：

$\dfrac{\partial}{\partial y}\dfrac{y}{x^2 + y^2} = f$ なので $\int_0^1 f\,dy = \dfrac{1}{1 + x^2}$、これを $x$ で積分すると $\pi/4$。同様に $\int_0^1 f\,dx = -\dfrac{1}{1 + y^2}$ で、$y$ で積分すると $-\pi/4$。2つの累次積分は一致しない。

検算：

$f$ は原点の近くで有界でなく、$\iint_{[0,1]^2} |f|\,dx\,dy = \infty$ なので、フビニの定理の条件を満たさない。$f(y, x) = -f(x, y)$ の対称性からも、2つの値が符号違いになることが分かる。

## 変数変換とヤコビアン

### 定理・法則：重積分の変数変換

条件：

$\Phi : (u, v) \mapsto (x(u, v), y(u, v))$ は領域 $E$ から $D$ への $C^1$ 級の全単射で、ヤコビアン $J = \dfrac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$ が $E$ で $0$ にならない（面積 $0$ の集合を除いてよい）。$f$ は $D$ で連続。

主張：

$$\iint_D f(x, y)\,dx\,dy = \iint_E f(x(u, v), y(u, v))\,|J|\,du\,dv, \qquad J = \det \begin{pmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{pmatrix}$$

要点：

$|J|$ は $(u, v)$ の小長方形が $(x, y)$ 平面で何倍の面積に写るかを表す。1変数の置換積分と違い、絶対値をとる。

### よく使う座標のヤコビアン

- 極座標

  $$x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta: \quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta$$

- 円柱座標

  $$x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z: \quad dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz$$

- 球座標

  $$x = r\sin\theta\cos\varphi,\ y = r\sin\theta\sin\varphi,\ z = r\cos\theta: \quad dx\,dy\,dz = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$$

  $\theta \in [0, \pi]$ は $z$ 軸からの角、$\varphi \in [0, 2\pi)$ は方位角とする。

- 1次変換

  $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}: \quad dx\,dy = |\det A|\,du\,dv$$

### 計算例：極座標でガウス積分を求める

$I = \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx$ を求めよ。

解答：

被積分関数は正なので、順序の交換と極座標への変換ができる。

$$I^2 = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2 + y^2)}\,dx\,dy = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty e^{-r^2} r\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$$

$I > 0$ なので $I = \sqrt{\pi}$。

検算：

ガンマ関数で書くと $I = \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ と一致する。$\int_0^\infty e^{-r^2} r\,dr$ は $s = r^2$ と置けば $\tfrac{1}{2}\int_0^\infty e^{-s}\,ds = 1/2$。

### 計算例：1次変換で正方形の領域に直す

$D = \{(x, y) \mid |x + y| \le 1,\ |x - y| \le 1\}$ のとき $\iint_D (x + y)^2\,dx\,dy$ を求めよ。

解答：

$u = x + y$、$v = x - y$ とおくと、$D$ は $[-1, 1]^2$ に写る。逆に解いて $x = (u + v)/2$、$y = (u - v)/2$ なので

$$J = \det \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2}, \qquad |J| = \frac{1}{2}$$

よって積分は $\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \frac{u^2}{2}\,du\,dv = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$。

検算：

$D$ は頂点 $(\pm 1, 0)$、$(0, \pm 1)$ の正方形で面積 $2$。$[-1, 1]^2$ の面積 $4$ に $|J| = 1/2$ を掛けた値と一致する。$x$ で領域を分けて直接累次積分しても $2/3$ になる。

## 答案でよくある誤り

1. 極座標に変えたときに $r$ を掛け忘れる。$dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ で、球座標では $r^2\sin\theta$ が掛かる。
2. 変数変換でヤコビアンの逆数を掛ける。$u = x + y$ のように $(u, v)$ を $(x, y)$ で表した場合は、$\partial(u, v)/\partial(x, y)$ の逆数が $\partial(x, y)/\partial(u, v)$ になる。どちらを計算したかを明記する。
3. 積分順序を交換したときに範囲を書き換えない。領域を図に描き、外側の変数の範囲を定数で、内側の変数の範囲を外側の変数の関数で書き直す。
4. ヤコビアンの符号をそのまま使う。変数変換では $|J|$ を掛ける。上の1次変換の例で $J = -1/2$ をそのまま使うと、正の関数の積分が負になる。
5. 広義の重積分で条件を確かめずに順序を交換する。$f \ge 0$ か $\iint |f| < \infty$ を確認する。$(x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)^2$ では順序で値が変わる。

## 重積分が出た院試の過去問

### [重積分と極座標](https://inshihub.com/exam-themes/multiple-integral-polar)（25大学・164問）

- [九州大学大学院 数学 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-information-science-and-electrical-engineering/information-science-mathematics/2026#problem-2): 解析学・微積分
- [九州大学大学院 機械工学 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering/2026#problem-3): 数学 第3問（極限と積分）
- [九州大学大学院 基礎科目 2026年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-mathematics/basic-mathematics/2026#problem-4): 広義二重積分
- [京都大学 数学・機械力学・専門科目 2026年度 第8問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering-group/2026#problem-8): フィードバック制御と位相進み補償
- [京都工芸繊維大学大学院 専門科目（情報工学） 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-institute-of-technology/graduate-school-of-science-and-technology/information-engineering/2026-first#problem-1): 数学
- [千葉大学大学院 専門科目（A0・A問題・B問題） 2026年度 第9問](https://inshihub.com/exam-solutions/chiba-university/graduate-school-of-science-and-engineering/mathematics-informatics-specialized-a/2026#problem-9): B3 接ベクトルと体積形式の座標変換

解答まで無料で読める演習問題:

- [京都工芸繊維大学大学院 専門科目（情報工学） 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-institute-of-technology/graduate-school-of-science-and-technology/information-engineering/2026-first#problem-1): 数学
- [室蘭工業大学大学院 専門科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/muroran-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/mechanical-robotics-engineering/2026-first#problem-2): 微分積分：積の微分と楕円領域
- [東京大学 専門科目A 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-mathematical-sciences/specialized-subject-a/2026#problem-1): 円板上の重積分
- [東京都立大学大学院 情報科学域 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-metropolitan-university/graduate-school-of-systems-design/information-science/2026-summer#problem-1): 微分積分