# 剛体の回転｜慣性モーメントの計算・平行軸の定理・転がり運動

> 剛体の回転の運動方程式、慣性モーメントの定義と棒・円板・球の計算、平行軸の定理と直交軸の定理、滑らずに転がる条件を解説。斜面を転がる物体の加速度、必要な摩擦係数、実体振り子の周期の計算例も載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [運動の法則と保存則](https://inshihub.com/basics/mechanics/newtons-laws-conservation)、[重積分](https://inshihub.com/basics/calculus/multiple-integrals)

固定軸のまわりの剛体の回転は $I\dot{\omega} = N$ で決まる。$I = \int r_\perp^2\,dm$ は軸からの距離 $r_\perp$ の2乗で重みをつけた質量の和（慣性モーメント）、$N$ は軸のまわりの外力のモーメントである。軸を重心から距離 $d$ だけ平行に移すと $I = I_{\mathrm{G}} + Md^2$ となる。転がる物体では、重心の並進の運動方程式と重心まわりの回転の運動方程式を、滑らない条件 $v = R\omega$ で結ぶ。

## 剛体の運動方程式と慣性モーメント

### 定義：剛体と慣性モーメント

どの2点の距離も変わらない物体を剛体という。剛体の運動は重心の並進と重心まわりの回転に分けられる。ある軸のまわりの慣性モーメントを

$$I = \sum_i m_i r_{\perp i}^2 = \int r_\perp^2\,dm$$

で定める。$r_\perp$ は質量要素から軸までの距離である。単位は $\mathrm{kg\,m^2}$。

### 定理・法則：剛体の運動方程式

条件：

並進の式は常に成り立つ。回転の式は、慣性系に固定した点または重心のまわりのモーメントで書く。$I\dot{\omega} = N$ の形は、方向が固定された回転軸（固定軸か、平面運動での重心を通る軸）の場合に限る。

主張：

$$M\dot{\boldsymbol{V}}_{\mathrm{G}} = \sum \boldsymbol{F}^{\text{ext}}, \qquad \frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{N}, \qquad I\frac{d\omega}{dt} = N$$

要点：

加速する任意の点のまわりで $d\boldsymbol{L}/dt = \boldsymbol{N}$ を書くと、一般には余分な項が出る。重心まわりなら重心が加速していても成り立つ。3次元の回転では $\boldsymbol{L} = \mathsf{I}\boldsymbol{\omega}$ の $\mathsf{I}$ が慣性テンソルになり、$\boldsymbol{L}$ と $\boldsymbol{\omega}$ は主軸方向でなければ平行にならない。

固定軸のまわりの回転の運動エネルギーは $K = \frac{1}{2}I\omega^2$、角運動量の軸方向成分は $L = I\omega$ である。並進と回転を同時にする剛体では $K = \frac{1}{2}MV_{\mathrm{G}}^2 + \frac{1}{2}I_{\mathrm{G}}\omega^2$ と、重心の運動と重心まわりの回転に分けて足す。

## 平行軸の定理と直交軸の定理

### 定理・法則：平行軸の定理

条件：

$I_{\mathrm{G}}$ は重心を通る軸のまわりの慣性モーメント。新しい軸はその軸に平行で、距離が $d$。

主張：

$$I = I_{\mathrm{G}} + Md^2$$

要点：

重心からの位置で $\int r_\perp^2 dm$ を展開すると、交差項が $\int \boldsymbol{r}'\,dm = \boldsymbol{0}$（重心の定義）で消える。基準にする軸が重心を通らないときは、この式をそのまま使えない。

### 定理・法則：直交軸の定理

条件：

厚みを無視できる平板（質量が $xy$ 平面内だけにある）で、$z$ 軸は板に垂直。

主張：

$$I_z = I_x + I_y$$

要点：

$r_\perp^2 = x^2 + y^2$ を分ければ出る。立体には使えない。円板の直径まわりの慣性モーメントは、対称性 $I_x = I_y$ とこの式から $MR^2/4$ になる。

### 一様な物体の慣性モーメント

- 細い棒（長さ $L$、中心を通り棒に垂直な軸）

  $$I = \frac{1}{12}ML^2$$

- 細い棒（端を通り棒に垂直な軸）

  $$I = \frac{1}{3}ML^2$$

- 円板・円柱（中心軸）

  $$I = \frac{1}{2}MR^2$$

- 円環・薄い円筒（中心軸）

  $$I = MR^2$$

- 球（中心を通る軸）

  $$I = \frac{2}{5}MR^2$$

- 薄い球殻（中心を通る軸）

  $$I = \frac{2}{3}MR^2$$

## 滑らずに転がる条件

### 定理・法則：転がり運動の式

条件：

半径 $R$ の円形断面の剛体が平面上を滑らずに転がる。接触点の速度が零であることが条件。

主張：

$$V_{\mathrm{G}} = R\omega, \qquad a_{\mathrm{G}} = R\dot{\omega}$$

重心の並進の運動方程式と、重心まわりの回転の運動方程式 $I_{\mathrm{G}}\dot{\omega} = fR$（$f$ は接触点の摩擦力）を、この関係で連立する。

要点：

滑らずに転がるときの摩擦は静止摩擦で、接触点が動かないので仕事をしない。そのため力学的エネルギーが保存する。必要な摩擦力が $\mu N$ を超えると滑りが起こり、$V_{\mathrm{G}} = R\omega$ は成り立たなくなる。

## 剛体の計算例

### 計算例：棒の慣性モーメントと平行軸の定理

長さ $L$、質量 $M$ の一様な細い棒について、中心を通る垂直な軸と、端を通る垂直な軸のまわりの慣性モーメントを求めよ。

解答：

線密度は $M/L$。中心からの距離を $s$ として

$$I_{\mathrm{G}} = \int_{-L/2}^{L/2} \frac{M}{L}s^2\,ds = \frac{1}{12}ML^2, \qquad I_{\text{端}} = \int_0^L \frac{M}{L}s^2\,ds = \frac{1}{3}ML^2$$

検算：

平行軸の定理で $d = L/2$ とすると $\frac{1}{12}ML^2 + M\frac{L^2}{4} = \frac{1}{3}ML^2$ となり、直接積分した値に一致する。

### 計算例：円板と球の慣性モーメント

半径 $R$、質量 $M$ の一様な円板（中心軸）と一様な球（中心を通る軸）の慣性モーメントを求めよ。

解答：

円板は面密度 $\sigma = M/(\pi R^2)$ で、半径 $r$ の輪に分けて $I = \int_0^R r^2\,\sigma 2\pi r\,dr = \frac{1}{2}MR^2$。

球は半径 $r$、厚さ $dr$ の球殻に分ける。球殻の慣性モーメントは $\frac{2}{3}r^2\,dm$ なので、$\rho = M/(\frac{4}{3}\pi R^3)$ として

$$I = \int_0^R \frac{2}{3}r^2 \cdot \rho 4\pi r^2\,dr = \frac{2}{5}MR^2$$

検算：

球殻の $\frac{2}{3}r^2$ は、3軸の和 $I_x + I_y + I_z = \int 2r^2 dm = 2r^2\,dm$ を対称性で3等分した値である。どちらも $MR^2$ より小さく、質量が軸の近くにある分だけ円環より回しやすい。

### 計算例：斜面を転がり落ちる球

傾き $\theta$ の斜面を、一様な球（質量 $M$、半径 $R$）が滑らずに転がり落ちる。重心の加速度と、滑らないために必要な静止摩擦係数を求めよ。

解答：

斜面下向きを正、摩擦力 $f$ を斜面上向きとする。

$$Ma = Mg\sin\theta - f, \qquad I_{\mathrm{G}}\frac{a}{R} = fR$$

から $a = \dfrac{g\sin\theta}{1 + I_{\mathrm{G}}/(MR^2)}$。球では $I_{\mathrm{G}} = \frac{2}{5}MR^2$ なので $a = \frac{5}{7}g\sin\theta$、$f = \frac{2}{7}Mg\sin\theta$。$f \le \mu N = \mu Mg\cos\theta$ から $\mu \ge \frac{2}{7}\tan\theta$。

検算：

エネルギー保存 $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}MR^2(v/R)^2$ から $v^2 = \frac{10}{7}gh$。等加速度の式 $v^2 = 2a(h/\sin\theta)$ に $a = \frac{5}{7}g\sin\theta$ を入れても同じになる。円板では $\frac{2}{3}g\sin\theta$、円環では $\frac{1}{2}g\sin\theta$ で、$I_{\mathrm{G}}/(MR^2)$ が大きいほど遅い。

### 計算例：棒の実体振り子

長さ $L$ の一様な棒の一端を水平な軸で支え、鉛直面内で小さく振らせる。周期を求めよ。

解答：

支点のまわりの回転の運動方程式は、重心までの距離 $d = L/2$ として $I\ddot{\theta} = -Mgd\sin\theta \approx -Mgd\,\theta$。周期は

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{Mgd}} = 2\pi\sqrt{\frac{ML^2/3}{MgL/2}} = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}$$

検算：

長さ $\frac{2}{3}L$ の単振り子と同じ周期になる。全質量が距離 $d$ の一点にあれば $I = Md^2$ で $T = 2\pi\sqrt{d/g}$ となり、単振り子に戻る。

## 答案でよくある誤り

1. 重心を通らない軸から平行軸の定理を使う。$I = I_{\mathrm{G}} + Md^2$ の $I_{\mathrm{G}}$ は必ず重心を通る軸のもので、別の軸どうしの換算は一度重心の軸を経由する。
2. 立体に直交軸の定理を使う。$I_z = I_x + I_y$ は平板だけで成り立つ。立体の球では3軸の和 $= 2\int r^2dm$ を使う。
3. 転がる物体の運動エネルギーを $\frac{1}{2}MV^2$ だけにする。回転の $\frac{1}{2}I_{\mathrm{G}}\omega^2$ を加える。支点まわりの $\frac{1}{2}I\omega^2$ で書く場合は並進の項を足さない。
4. 滑らずに転がるときの摩擦力を $\mu N$ とおく。静止摩擦力は運動方程式から決め、その大きさが $\mu N$ 以下であることを条件として使う。
5. 加速している接触点のまわりで $I\dot{\omega} = N$ を書く。回転の式は固定点か重心のまわりでとる。

## 剛体の回転が出た院試の過去問

### [剛体の回転運動](https://inshihub.com/exam-themes/rigid-body-rotation)（17大学・120問）

- [九州大学大学院 物理学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-science/physics/2026#problem-1): 物理学I：ねじりばかりと回転系上の球面振り子
- [九州大学大学院 機械工学 2026年度 第9問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering/2026#problem-9): 機械力学 第2問（可動滑車の振動）
- [九州工業大学大学院 専門科目（物理情報工学） 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-institute-of-technology/graduate-school-of-computer-science-and-systems-engineering/physical-informatics-engineering/2026#problem-1): 力学
- [京都大学 地球惑星科学専攻 基礎科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/earth-and-planetary-sciences/2026#problem-2): 力学
- [京都大学 数学・機械力学・専門科目 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering-group/2026#problem-3): 段差を上がる剛体球
- [京都大学 専門科目（物理学） 2026年度 第9問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/physics-and-astronomy/2026#problem-9): II-3 力学(連星系・剛体円環の歳差運動)

解答まで無料で読める演習問題:

- [九州大学大学院 物理学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-science/physics/2026#problem-1): 物理学I：ねじりばかりと回転系上の球面振り子
- [名古屋大学大学院 物理学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-university/graduate-school-of-science/physics/2026#problem-1): 力学
- [大阪大学 物理学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/osaka-university/graduate-school-of-science/physics/2026#problem-1): 小振動と基準振動
- [室蘭工業大学大学院 専門科目 2026年度 第10問](https://inshihub.com/exam-solutions/muroran-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/mechanical-robotics-engineering/2026-second#problem-10): 機械力学：質点を持つ棒の振り子