大阪公立大 理学研究科 物理学専攻 物理 2025年度 院試 解答例・解説

二重振り子の最初の山場

座標を正しく置けば、あとは $v_2^2$ の交差項を落とさないことが重要である。 $\cos(\alpha_1-\alpha_2)$ は微小振動では $1$ に近似するが、 $\dot\alpha_1\dot\alpha_2$ 自体は二次の微小量なので残る。 この交差項を落とすと質量行列が対角になり、二重振り子らしい連成が消えてしまう。

固有振動数の確認

$\omega^2$ は二次方程式で決まる。判別式の中身は $$(l_1+l_2)^2-\frac{4m_1}{m_1+m_2}l_1l_2 =(l_1-l_2)^2+\frac{4m_2}{m_1+m_2}l_1l_2>0$$ であり、固有振動数は実数である。また次元は $g/l$ 型になっている。 ここまで確認しておくと、符号ミスをかなり見つけやすい。

剛体との対応

剛体の場合、$\alpha_2$ は二本目の糸の角ではなく剛体の向きを表す角である。 ただし重心が左端から距離 $h$ にあるので、重心の並進運動は 二重振り子の第二質点と同じ形をもつ。違いは、剛体の回転エネルギー $\frac12I\dot\alpha_2^2$ が加わる点である。 この追加分のために $\gamma$ が現れ、対応条件から $h=l_2/\gamma$ が出る。

基準振動の物理的意味

$\gamma=2,\ l_1=l_2$ の場合、剛体は二つの等質量点が両端に集中したダンベルに対応する。 低振動数モードでは $\alpha_1$ と $\alpha_2$ が同符号で、糸と剛体がほぼ一体となって ゆっくり揺れる。高振動数モードでは両者が逆符号で、重心の移動を抑えながら剛体が大きく 回転する。答案では「同相・逆相」だけでなく、振幅比まで書くと議論が明確になる。

一様帯電球のグラフ

内部電場は包む電荷が $r^3$ に比例する一方、ガウス面の面積が $r^2$ に比例するため $E\propto r$ となる。外部では全電荷 $Q$ が中心にある場合と同じで $E\propto r^{-2}$。 グラフでは $r=a$ で折れ曲がるが、値は連続である。

双極子近似の符号

正電荷側を $\theta=0$ とすれば、軸上正方向では $\phi_d>0$ になる。 この符号確認をしておくと、距離の展開で $R_+$ と $R_-$ を取り違えにくい。 電場の $\theta$ 成分は $$E_\theta=-\frac1r\frac{\partial\phi}{\partial\theta}$$ であるため、$\sin\theta$ の符号もここで決まる。

反電場の意味

誘電体球の内部で分極電荷が作る電場は、分極 $\bm P$ と逆向きである。 この電場は反電場と呼ばれ、球では係数が $1/3$ になる。 平板や細長い針状物体では係数が変わるので、ここでは「球だから $1/3$」と明記するのが大切である。

外部電場の書き方

外部電場を求めるとき、$\bm E_0$ を忘れて分極双極子の場だけを書いてしまう誤答が多い。 問題が「分極のみ」と指定している箇所では双極子の場だけを描き、全外部電場を求める箇所では 一様電場と双極子場の和を書く。答案ではこの二つを明確に分けると減点されにくい。

演算子の順序

$(\bm p-q\bm A)^2$ では、$\bm p$ が右側の関数にも $\bm A$ にも作用する。 そのため $(\nabla\cdot\bm A)\psi$ の項が一度現れる。 最終的にこの問題の領域では $\nabla\cdot\bm A=0$ だが、最初から消すと展開の根拠が曖昧になる。

磁場ゼロとベクトルポテンシャルゼロは違う

粒子のいる領域では $\nabla\times\bm A=0$ である。しかし $$\oint \bm A\cdot d\bm l=\pi r_0^2B=\Phi$$ はゼロとは限らない。環状領域は穴をもつため、$\bm A$ を単純に全域で勾配として消去できない。 ここが古典的なローレンツ力の議論との違いである。

量子数の役割

$n$ は狭い幅 $\Delta r$ 方向の箱型量子化を表し、$m$ は角度方向の周期性から来る量子数である。 $\Delta r\ll r_0$ では径方向エネルギー $\hbar^2n^2\pi^2/(2M\Delta r^2)$ が大きく、磁束の効果は主に角運動量項のずれとして現れる。

答案での考察

考察問題では「磁場がないのに力を受ける」と書くと不正確である。 定常状態のエネルギーが変わる理由は、波動関数の位相が閉曲線に沿って $\exp(iq\Phi/\hbar)$ の影響を受け、許される角度方向の波数がずれるためである。 局所的な力ではなく、領域のトポロジーと磁束による位相効果として説明する。

平均場方程式の意味

平均場近似では、各スピンは周囲のスピンそのものではなく平均値 $m$ が作る有効場を感じる。 ただし、その有効場によって計算した平均値が、最初に仮定した $m$ と一致しなければならない。 この自己無撞着条件が $m=\tanh(zJm/k_BT)$ である。

二重数えの補正

全エネルギーの係数 $1/2$ は重要である。一つのスピンに隣接スピンが $z$ 個あるので 単純には $Nz$ 個の結合を数えるが、結合 $(i,j)$ と $(j,i)$ を二回数えている。 そのため結合数は $Nz/2$ になる。

エントロピーは組合せから出す

平均磁化 $m$ を固定すると、上向きと下向きの個数が決まる。 あとは $N$ 個の場所から上向きの場所を選ぶだけなので $$W(m)=\frac{N!}{N_+!N_-!}$$ となる。答案では $N_\pm=N(1\pm m)/2$ を書いてからスターリング近似に入ると、 式の由来が明確になる。

安定性の判定

自己無撞着方程式の解が複数あるとき、全てが熱平衡状態とは限らない。 平衡状態は自由エネルギーの最小で決まる。$T<T_c$ で $m=0$ は方程式の解として残るが、 $d^2F/dm^2<0$ なので最大であり、安定な解ではない。

臨界指数

転移点近傍で $$m_0\propto (T_c-T)^{1/2}$$ となる。平均場近似における秩序パラメータの臨界指数は $1/2$ である。 展開では $m_0\ne0$ の低温側解を扱っているので、途中で $m_0$ で割る理由を一言添えるとよい。