大阪公立大 理学研究科 物理学専攻 物理 2023年度 院試 解答例・解説

保存量の出どころ

ポテンシャルが $|\mathbf r_1-\mathbf r_2|$ だけの関数であることが本質である。空間並進に対する不変性が全運動量保存を、空間回転に対する不変性が全角運動量保存を与える。答案では対称性の言葉だけで済ませず、設問の指示通り運動方程式から右辺を打ち消す計算を書くと減点されにくい。

重心座標で交差項が消える理由

$\dot{\mathbf r}_1=\dot{\mathbf R}+(m_2/M)\dot{\mathbf r}$, $\dot{\mathbf r}_2=\dot{\mathbf R}-(m_1/M)\dot{\mathbf r}$ を代入すると、 $\dot{\mathbf R}\cdot\dot{\mathbf r}$ の係数は $m_1m_2/M-m_2m_1/M=0$ になる。この一行を書いておくと、換算質量 $\mu$ がどこから出たかが明確になる。

運動平面の示し方

$\mathbf l=\mu\mathbf r\times\dot{\mathbf r}$ なので常に $\mathbf l\cdot\mathbf r=0$ である。$\mathbf l$ が保存して向きも固定されるため、$\mathbf r$ は固定平面から出られない。単に「角運動量保存なので平面運動」と書くだけでは、どの平面かが曖昧である。

有効ポテンシャルの読み方

$l^2/(2\mu r^2)$ は遠心力ポテンシャルで、$r\to0$ での振る舞いを決める。したがって $l=0$ と $l\ne0$ では原点近くの許容範囲が全く違う。特に $l\ne0$ では $r=0$ に到達できない。

典型的な間違い

$E>0$ のとき二次方程式の二つの根のうち一方は負である。正根より外側が許容範囲であり、二つの正の転回点を書くのは誤りである。また $E=0$ は極限として別に書くと符号ミスを避けやすい。

近似の次数

$\Delta\mathbf B$ の前にすでに $a_1$ が掛かっている。全体として最初に残る非零項は $a_1^2$ であるため、$B_x,B_y$ では $R^{-3}$ の一次補正が必要になる。一方、$B_z$ ではベクトル成分中の $+a_1$ と $-A$ の一次補正の積が同じ次数で効く。

双極子場としての確認

小さい円電流は磁気双極子 $\mathbf m=I\pi a^2\mathbf e_z$ とみなせる。磁気双極子場 $$\mathbf B=\frac{\mu_0}{4\pi r^5} \{3(\mathbf m\cdot\mathbf r)\mathbf r-r^2\mathbf m\}$$ に代入すると、解答の $\mathbf B$ と一致する。係数の $\pi$ が消えて $\mu_0Ia^2/4$ になる点はよく確認しておきたい。

力の向き

$x,y$ 成分は周回積分で打ち消される。残る $z$ 成分は $\mathbf t_2\times\mathbf B_2$ のうち横磁場との外積から生じる。符号を取り違えると引力・斥力の結論が逆になるので、最後に「$C_2$ は $+z$ 側にある。負の $F_z$ は $C_1$ へ向かう」と言葉で確認する。

答案上の注意

この問題は途中式のベクトル積と三角関数積分で点を取りやすい。特に $\mathbf t_1=(-\sin\varphi,\cos\varphi,0)$ と $\mathbf t_2=(-\sin\theta,\cos\theta,0)$ を最初に明記すれば、以降の符号を追跡しやすい。

大分配関数は規格化定数

大正準分布の指数因子だけでは確率にならない。全状態について足し合わせて 1 になるように割る量が $\Xi$ である。設問 (1) はこの規格化条件を一行で書けるかを見る問題である。

ボース粒子で積に分解できる理由

理想気体では相互作用がないため、エネルギーが各一粒子状態の占有数の和になる。そのため指数の中も $\sum_\alpha$ に分かれ、占有数ごとの和が積に分解する。フェルミ粒子なら $n_\alpha=0,1$ で止まるが、ボース粒子では $0$ から $\infty$ まで足す点が重要である。

光子の化学ポテンシャル

光子数は保存量ではないので、熱平衡では $\mu=0$ である。このため $\Omega=F-\mu N$ が $F$ と一致する。ここを落とすと、グランドポテンシャルからヘルムホルツ自由エネルギーへ移る理由が不明確になる。

積分の検算

$F$ は $T^4V$ に比例し、符号は負である。エネルギー密度は $E/V\propto T^4$ で、これは Stefan--Boltzmann 則と同じ温度依存性である。圧力が $P=E/(3V)$ になることも、電磁波の輻射圧として自然な結果である。

典型的な間違い

状態密度には偏光の自由度 2 がすでに含まれている。ここでさらに 2 を掛けるとすべての係数が二倍になる。また $\hbar c$ の三乗を $\hbar^3c$ や $\hbar c^3$ と誤記しやすいので、最後に次元を確認する。

期待値が実数になる理由

位置演算子と運動量演算子が自己共役であることを、位置表示で確認する設問である。運動量では部分積分の境界項が消えることが要点であり、ここを書かないと形式的な複素共役計算だけになってしまう。

最小不確定性の見抜き方

初期波束は実ガウス包絡に平面波 $e^{ik_0x}$ を掛けた形である。平面波因子は平均運動量を $\hbar k_0$ だけずらすが、幅 $\Delta p$ はガウス包絡の幅で決まる。したがって $k_0$ が不確定性積に現れないことは自然である。

Fourier 変換の規格化

この問題では $\psi$ と $\phi$ の両方に $1/\sqrt{2\pi}$ を入れる対称規約を使っている。規約を取り違えると $\phi(k,0)$ の前係数がずれる。指数部だけでなく前係数まで合わせるのが、規格化を保った答案として重要である。

波束の中心と広がり

$\bar x(t)=(\hbar k_0/m)t$ は群速度 $v_g=d\omega/dk=\hbar k_0/m$ で進むことを表す。一方、$\Delta x_t$ は時間とともに増大する。これは自由粒子の分散関係 $\omega=\hbar k^2/(2m)$ が線形でないため、異なる $k$ 成分が異なる速度で進むからである。

検算

$t=0$ を代入すると $$C(0)=(2\pi\sigma^2)^{-1/4},\qquad \gamma(0)=\sigma^{-2},\qquad \bar x(0)=0$$ となり、与えられた初期波動関数に戻る。また $\Delta x_t\ge\sigma$ であり、自由発展で波束が狭くなることはない。