大阪公立大 理学研究科 物理学専攻 物理 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

$r=|\mathbf r_1-\mathbf r_2|$ とおく。ラグランジアンは $$L=\frac12 m_1\dot{\mathbf r}_1^{\,2} +\frac12 m_2\dot{\mathbf r}_2^{\,2} -U(|\mathbf r_1-\mathbf r_2|)$$ である。したがって $$\frac{\partial U}{\partial \mathbf r_1} =U'(r)\frac{\mathbf r_1-\mathbf r_2}{r},\qquad \frac{\partial U}{\partial \mathbf r_2} =-U'(r)\frac{\mathbf r_1-\mathbf r_2}{r}$$ より、運動方程式は $$m_1\ddot{\mathbf r}_1=-U'(r)\frac{\mathbf r_1-\mathbf r_2}{r},\qquad m_2\ddot{\mathbf r}_2= U'(r)\frac{\mathbf r_1-\mathbf r_2}{r}.$$ 右辺は互いに逆向きで大きさが等しいので作用反作用の法則が成り立つ。よって $$\dot{\mathbf P} =m_1\ddot{\mathbf r}_1+m_2\ddot{\mathbf r}_2=\mathbf 0$$ であり、全運動量 $\mathbf P$ は保存する。また力は相対位置 $\mathbf r=\mathbf r_1-\mathbf r_2$ に平行であるから $$\begin{aligned} \dot{\mathbf l} &=\mathbf r_1\times m_1\ddot{\mathbf r}_1 +\mathbf r_2\times m_2\ddot{\mathbf r}_2 \\ &=(\mathbf r_1-\mathbf r_2)\times \left[-U'(r)\frac{\mathbf r_1-\mathbf r_2}{r}\right] =\mathbf 0 . \end{aligned}$$ したがって全角運動量 $\mathbf l$ も保存する。

全質量 $M=m_1+m_2$、換算質量 $\mu=m_1m_2/M$、重心 $$\mathbf R=\frac{m_1\mathbf r_1+m_2\mathbf r_2}{M},\qquad \mathbf r=\mathbf r_1-\mathbf r_2$$ を用いると $$\mathbf r_1=\mathbf R+\frac{m_2}{M}\mathbf r,\qquad \mathbf r_2=\mathbf R-\frac{m_1}{M}\mathbf r$$ である。交差項は消え、 $$L=\frac12 M\dot{\mathbf R}^{\,2} +\frac12\mu\dot{\mathbf r}^{\,2}-U(r)$$ となる。以後 $\dot{\mathbf R}=0$ の系で考えれば $$\mathbf l=\mathbf r\times\mu\dot{\mathbf r}.$$ $\mathbf l$ が一定なので、$\mathbf l\cdot\mathbf r=0$ が任意の時刻で成り立つ。したがって $\mathbf r$ は、原点を通り法線が $\mathbf l$ である固定平面内にとどまる。

球座標では $$\dot{\mathbf r}^{\,2} =\dot r^2+r^2\dot\theta^2+r^2\sin^2\theta\,\dot\phi^2$$ だから $$L=\frac12\mu\left( \dot r^2+r^2\dot\theta^2+r^2\sin^2\theta\,\dot\phi^2 \right)-U(r).$$ Euler--Lagrange 方程式から $$\mu\ddot r =\mu r\dot\theta^2+\mu r\sin^2\theta\,\dot\phi^2-U'(r),$$ $$\frac{d}{dt}\left(\mu r^2\dot\theta\right) =\mu r^2\sin\theta\cos\theta\,\dot\phi^2,$$ $$\frac{d}{dt}\left(\mu r^2\sin^2\theta\,\dot\phi\right)=0$$ を得る。

運動平面を $\theta=\pi/2$ に取ると $$l=\mu r^2|\dot\phi|,\qquad |\dot\phi|=\frac{l}{\mu r^2}.$$ エネルギーは $$E=\frac12\mu\dot r^2+\frac12\mu r^2\dot\phi^2+U(r) =\frac12\mu\dot r^2+V(r)$$ であり、 $$V(r)=U(r)+\frac{l^2}{2\mu r^2}.$$

$U(r)=-\alpha/r\;(\alpha>0)$ のとき $$V(r)=\frac{l^2}{2\mu r^2}-\frac{\alpha}{r}.$$ $l=0$ では $V(r)=-\alpha/r$ で、$r\to0$ で $-\infty$、$r\to\infty$ で $0-$ に近づく。 $l\ne0$ では $r\to0$ で $+\infty$、$r\to\infty$ で $0-$ に近づき、 $$r_0=\frac{l^2}{\mu\alpha},\qquad V_{\min}=-\frac{\mu\alpha^2}{2l^2}$$ で最小値をとる。

運動可能条件は $$E\ge V(r),\qquad r>0$$ である。

$l=0$ の場合は $E+\alpha/r\ge0$ であるから $$\begin{cases} 0<r\le \alpha/(-E), & E<0,\\ 0<r<\infty, & E\ge0. \end{cases}$$ $l\ne0$ の場合、条件は $$Er^2+\alpha r-\frac{l^2}{2\mu}\ge0$$ である。最小エネルギー $$E_{\min}=-\frac{\mu\alpha^2}{2l^2}$$ を用いると $$\begin{cases} \text{運動不可}, & E<E_{\min},\\[2mm] r=r_0=\dfrac{l^2}{\mu\alpha}, & E=E_{\min},\\[3mm] r_{\min} \le r\le r_{\max}, & E_{\min}<E<0,\\[2mm] r\ge\dfrac{l^2}{2\mu\alpha}, & E=0,\\[3mm] r\ge r_+, & E>0, \end{cases}$$ ただし $$r_{\min}=\frac{\alpha- \sqrt{\alpha^2+2El^2/\mu}}{-2E},\qquad r_{\max}=\frac{\alpha+ \sqrt{\alpha^2+2El^2/\mu}}{-2E}\qquad(E<0),$$ また $E>0$ の唯一の正根を $$r_+=\frac{-\alpha+\sqrt{\alpha^2+2El^2/\mu}}{2E}$$ と書いた。