大阪公立大 理学研究科 物理学専攻 物理 2024年度 院試 解答例・解説

基準座標の意味

$Q_2=q_1+q_2$ は2質点が同じ向きに動く成分であり，中央のばねの伸び $q_2-q_1$ を変えない。 そのため中央ばね $k_2$ は $\omega_2$ に現れない。一方 $Q_1=q_1-q_2$ は2質点が互いに近づく・遠ざかる成分であり，中央ばねを2倍効かせるため $k_1+2k_2$ が出る。

エネルギーでの確認

基準座標に直すと運動エネルギーにもポテンシャルエネルギーにも $Q_1Q_2$ や $\dot Q_1\dot Q_2$ の交差項が残らない。これは $Q_1,Q_2$ が独立な基準振動を表していることのよい検算である。

振り子で間違えやすい符号

ばねの伸びは $a(\sin\theta_4-\sin\theta_3)$ であり，左の振り子についてはこの伸びを増やす向きと $\theta_3$ を増やす向きが逆になる。そのため厳密な運動方程式では $-ka^2(\sin\theta_4-\sin\theta_3)\cos\theta_3$ が現れる。

小振幅モードの物理

同相モードでは2つのおもりの水平変位が等しいので，ばねの長さは一次近似で変化しない。したがって単振り子と同じ $\sqrt{g/a}$ になる。逆相モードでは相対変位が $2a\theta$ となり，ばねによる復元力が加わるため角振動数が大きくなる。

波動方程式の減点ポイント

$\nabla\cdot\mathbf E=0$ とできるのは，電荷のない真空領域を考えているからである。電荷密度を残したまま同じ変形をすると $\nabla(\rho/\varepsilon_0)$ が残るので，条件を書かずに波動方程式だけを書くと論理が弱い。

直線電流の角度変換

有限直線電流の公式は暗記してもよいが，本問では $dx$ から $d\theta$ への変換を示すことが要求されている。$x=R\cot\theta$ と $r=R/\sin\theta$ を同時に使うと，$r^{-3}$ と $dx$ の因子が整理されて $\sin\theta\,d\theta$ だけが残る。

三角形回路の検算

正三角形の中心から辺までの距離は内接円半径 $a\sqrt3/6$ である。外接円半径 $a/\sqrt3$ と取り違えると答えが3倍ずれる。各辺の寄与の向きは右ねじの規則で面に垂直な同方向にそろう。

ソレノイドの考え方

円形回路の軸上磁場を先に求め，それを軸方向または半径方向に積分するのが最も安全である。多層の場合は「半径方向に一様に巻かれている」ことから $dN=N\,dr/(R_2-R_1)$ と置く点が答案の要になる。

デルタ関数摂動の本質

デルタ関数型ポテンシャルは，波動関数の値そのものではなく導関数に不連続を作る。波動関数まで不連続にしてしまうと，二階微分にデルタ関数より強い特異性が出てしまい，問題のポテンシャルと整合しない。

偶奇性で一気に見通す

摂動は井戸の中央にあるので，中央で腹をもつ状態だけが影響を受ける。無限井戸の $\sin(n\pi x/L)$ は，奇数 $n$ で中央が腹，偶数 $n$ で中央が節である。この観察だけで一次補正の有無を予測できる。

符号の確認

$\varepsilon>0$ なのでデルタポテンシャルは斥力であり，影響を受ける準位は上昇する。導関数条件の符号を間違えると $\delta_n<0$ となり，物理的な予想と矛盾する。

直接解と摂動論の対応

直接解では対称解が超越方程式 $k\cot(kL/2)=-\varepsilon/(2L)$ を満たす。小さい $\varepsilon$ で展開すると，奇数準位の波数だけが少し大きくなり，そのエネルギー上昇が摂動論の $\hbar^2\varepsilon/(mL^2)$ と一致する。これは答案の最後に書くと強い検算になる。

自由エネルギーの定数

ギブス--ヘルムホルツの関係を積分すると積分定数が出る。この定数は全エネルギーを一様にずらすことに対応し，問題文の「エネルギーの原点は任意」という条件で落とせる。ここを書いておくと導出が答案として完結する。

二準位系の符号

磁気モーメントが磁場と同じ向きならエネルギーは $-\mu H$，逆向きなら $+\mu H$ である。ここを逆にしても分配関数は同じだが，磁化の符号の解釈で混乱しやすい。磁化は磁場方向を正にとれば正の値になる。

エントロピーの高温極限

$T\to\infty$ では $x\to0$ で2状態が等確率になるため，1粒子あたりのエントロピーは $k\log2$ で最大になる。有限の磁場と温度では低エネルギー状態がやや多く占有されるため，$-Nkx^2/2$ だけ最大値から下がる。

断熱消磁の読み方

この模型では $S$ が $H/T$ のみで決まる。したがって断熱的に磁場を弱めると，同じエントロピーを保つため温度も同じ比率で下がる。これは断熱消磁冷却の基本式である。

比熱と磁化の検算

$H=0$ では準位差がないので $C=0$，また $M=0$ となる。低温強磁場の $x\gg1$ では $\tanh x\to1$ となり，磁化は飽和値 $N\mu$ に近づく。高温では $M\propto H/T$ となり，常磁性のキュリー則と一致する。