大阪公立大 理学研究科 物理学専攻 物理 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

前半：ばねで結合された2質点。 右向きを正にとる。平衡位置からの変位を $q_1,q_2$ とすると，左端および右端のばねの伸びは それぞれ $q_1,-q_2$，中央のばねの伸びは $q_2-q_1$ である。したがって $$\begin{align} m\ddot q_1&=-k_1q_1+k_2(q_2-q_1),\\ m\ddot q_2&=-k_1q_2-k_2(q_2-q_1) \end{align}$$ すなわち $$\begin{align} m\ddot q_1&=-(k_1+k_2)q_1+k_2q_2,\\ m\ddot q_2&=k_2q_1-(k_1+k_2)q_2. \end{align}$$

$Q_1=q_1-q_2,\ Q_2=q_1+q_2$ とおくと，上の2式の差と和から $$\begin{align} m\ddot Q_1&=-(k_1+2k_2)Q_1,\\ m\ddot Q_2&=-k_1Q_2. \end{align}$$ よって基準角振動数は $$\begin{align} \omega_1=\sqrt{\frac{k_1+2k_2}{m}},\qquad \omega_2=\sqrt{\frac{k_1}{m}} . \end{align}$$ また $q_1=(Q_1+Q_2)/2,\ q_2=(Q_2-Q_1)/2$ より，全エネルギーは $$\begin{align} E&=\frac{m}{2}(\dot q_1^2+\dot q_2^2) +\frac{k_1}{2}(q_1^2+q_2^2) +\frac{k_2}{2}(q_2-q_1)^2 \notag\\ &=\frac{m}{4}(\dot Q_1^2+\dot Q_2^2) +\frac{k_1+2k_2}{4}Q_1^2+\frac{k_1}{4}Q_2^2 . \end{align}$$

後半：ばねで結合された2つの振り子。 各おもりは半径 $a$ の円弧上を動くので $$\begin{align} T=\frac{1}{2}Ma^2(\dot\theta_3^2+\dot\theta_4^2). \end{align}$$ ばねの伸びは水平方向だけを考えればよいから $$\begin{align} \Delta \ell=a(\sin\theta_4-\sin\theta_3), \qquad K=\frac{1}{2}ka^2(\sin\theta_4-\sin\theta_3)^2 . \end{align}$$ 天井を重力ポテンシャルの基準にすると，各おもりの高さは $-a\cos\theta_i$ であるから $$\begin{align} U=-Mga(\cos\theta_3+\cos\theta_4) +\frac{1}{2}ka^2(\sin\theta_4-\sin\theta_3)^2 . \end{align}$$ したがってラグランジアンは $$\begin{align} L&=T-U \notag\\ &=\frac{1}{2}Ma^2(\dot\theta_3^2+\dot\theta_4^2) +Mga(\cos\theta_3+\cos\theta_4) -\frac{1}{2}ka^2(\sin\theta_4-\sin\theta_3)^2 . \end{align}$$ オイラー・ラグランジュ方程式から $$\begin{align} Ma^2\ddot\theta_3+Mga\sin\theta_3 -ka^2(\sin\theta_4-\sin\theta_3)\cos\theta_3&=0,\\ Ma^2\ddot\theta_4+Mga\sin\theta_4 +ka^2(\sin\theta_4-\sin\theta_3)\cos\theta_4&=0. \end{align}$$ 小振幅近似 $\sin\theta\simeq \theta,\ \cos\theta\simeq 1$ では $$\begin{align} \ddot\theta_3+\left(\frac{g}{a}+\frac{k}{M}\right)\theta_3 -\frac{k}{M}\theta_4&=0,\\ \ddot\theta_4-\frac{k}{M}\theta_3 +\left(\frac{g}{a}+\frac{k}{M}\right)\theta_4&=0. \end{align}$$ $\theta_3=C\cos(\omega t+\alpha),\ \theta_4=D\cos(\omega t+\alpha)$ を代入すると $$\begin{align} \left(\frac{g}{a}+\frac{k}{M}-\omega^2\right)C-\frac{k}{M}D&=0,\\ -\frac{k}{M}C+\left(\frac{g}{a}+\frac{k}{M}-\omega^2\right)D&=0. \end{align}$$ 非自明解の条件は $$\begin{align} \left(\frac{g}{a}+\frac{k}{M}-\omega^2\right)^2-\left(\frac{k}{M}\right)^2=0. \end{align}$$ よって $$\begin{align} \omega_3=\sqrt{\frac{g}{a}},\qquad \omega_4=\sqrt{\frac{g}{a}+\frac{2k}{M}}. \end{align}$$ $\omega_3$ では $C=D$ で2つの振り子が同相に揺れ，ばねは一次近似で伸び縮みしない。 $\omega_4$ では $C=-D$ で逆相に揺れ，ばねの伸縮が復元力を強める。