東大 天文学専攻の院試過去問｜数学・物理・天文の4問を240分で

東京大学大学院理学系研究科の天文学専攻は、修士課程の専門科目で、数学1問、物理学2問、天文学1問の計4問を全問解答させます。天文学の問題も、天文学の知識を前提とせず、物理と数学で解ける問題と募集要項に書かれています。英語は外部試験のスコアで評価します。この記事では、2021〜2026年度の6回、全22問の解答を読んだうえで、科目ごとの題材、繰り返し出る型、解き始めの一行、失点しやすい箇所を整理します。

無料で読める解答は、2022〜2026年度の数学と、2021年度の専門科目1の計6問です。公式の問題PDFは天文学専攻の過去問ページに2008〜2026年度分があり、2026年度には出題の意図も掲載されています。解答例へのリンクはありません（2026年10月28日確認）。

試験形式：4問を全問解答、4時間

専門科目の時間と答案の条件は、2022〜2026年度の問題表紙によります。英語と口述試験は2027年度修士課程募集要項の4ページによります。

2027年度入試では、オンライン出願が2026年6月17〜23日、専門科目が8月18日、口述試験の対象者発表が8月24日、口述試験が9月1〜2日、最終合格発表が9月16日でした。年度は入学年度で表示され、2026年度の問題は2025年8月19日、2025年度の問題は2024年8月20日に実施されています。理学系の他専攻との違いは東大理学系の研究科ページにまとめています。

専攻の過去問ページには、2022年度の入試から数学1問・物理学2問・天文学1問の計4問になり、全問必答であると書かれています。2021年度はオンライン試験の特例で、専門科目1（10時〜10時45分）と専門科目2（11時15分〜12時）を1問ずつ解く形式でした。2021年度を練習に使うときは、時間も問題数も本番と違うことに注意してください。

合格者数（2022〜2026年度）

理学系研究科の専攻別合格者数による天文学専攻の人数です。この表には志願者数と受験者数がありません。

合格者数を募集人員で割った値は倍率ではありません。志願者数が分からないため、この表から倍率や合格率は出せません。

年度別の出題と傾向

2022年度以降の4問は、問題冊子の順に数学、物理学1、物理学2、天文学です。

数学は線形代数、特殊関数、確率

数学は、2022・2023年度が線形代数（距離を保つ変換と双曲的な変換、特異値分解）、2024・2025年度が特殊関数（ルジャンドル多項式、ベッセル関数）、2026年度が確率（正規分布と中心極限定理）でした。どの年度も、定義から性質を導かせる問題です。特殊関数の年は、ロドリグの公式や母関数から漸化式・直交性・規格化へ進み、物理の答案で使う形を自分で作らせます。確率は2023年度の天文学（光子の待ち時間と雑音）にも出ています。

重力の二体問題が毎年どこかに出る

物理学と天文学には、重力で引き合う二体・多体の問題が5回続けて出ています。2022年度の物理学1は円制限三体問題とラグランジュ点、2023年度の物理学2は等質量連星の遠方の重力場、2025年度の物理学1は連星の重力波放射、2026年度の天文学は二体問題とケプラーの法則でした。2024年度の天文学も、重力で軌道が曲がることによる衝突断面積の増加を扱います。重心運動と相対運動の分離、換算質量、有効ポテンシャル、回転座標系の見かけの力は、この専攻の過去問では毎年の準備範囲です。

電磁気・光と、量子・統計

電磁気と光は、2021年度の複素屈折率と薄膜、2023年度の同軸ケーブル、2024年度の回折格子、2026年度の遅延ポテンシャルと放射です。量子力学は2025年度の二原子分子と2026年度の水素様イオン、統計力学は2022年度の天文学（サハの式）と2024年度の物理学1（二準位系、格子欠陥、断熱消磁）でした。2022年度の物理学2は、断熱変化と対流の安定条件、衝撃波の前後の保存則という流体と熱の問題です。

天文学は物理の式を天体の数値に当てはめる

天文学の問題は、物理の法則で式を作った後、天体の数値で桁を出すところまで求めます。2024年度は100太陽質量の天体への重力集束で衝突頻度が約4×10⁴倍、太陽型の星が潮汐で壊れる距離が約6太陽半径という見積もりを、有効数字1桁で答えます。2021年度の専門科目1は、ブラックホールの影の大きさから質量を太陽質量の約4×10⁶倍と求めます。2023年度は、光子雑音と読み出し雑音を合わせた信号対雑音比を30にする露光時間を計算します。2026年度の出題の意図では、天文学の問題について、ケプラーの法則を基に解析力学の要素も含めて力学の理解を問うたと説明されています。

分量は、院試Hubの解答・解説PDFで22問を166設問に分けて解説しており、1問あたり平均で約7.5設問です。4時間で4問なので、1問あたり60分で7〜8設問を、計算過程を省略せずに書く試験です。

時間配分と最初の一手

全問必答なので、得意な問題に時間をかけすぎると、最後の問題の後半を白紙で出すおそれがあります。最初の10分で4問すべての設問に目を通し、各問の最初に書く式を問題冊子の余白に書いておくと、どの問題も途中まで答案を作れます。天文学の数値計算は、式が出た時点で桁だけ先に見積もっておくと、最後に時間が足りなくなっても大きな誤りを避けられます。以下は、院試Hubの解答・解説から拾った解き始めの一手です。

数学：定義から低い次数を計算して確かめる（2024年度・2025年度）

2024年度のルジャンドル多項式は、ロドリグの公式でP₂を計算するときに分母の2!を落とすと、x = 1での値が2倍になります。母関数を微分して三項漸化式を出すときも、係数の添字がずれるとP₂の規格化が崩れるので、Pₙ(1) = 1と低い次数の対称性で検算します。2025年度のベッセル方程式は、最低次の係数から決定方程式k² = n²を作り、非負という指定からk = nを選んでから一般項へ進みます。k = n²と取り違えると、最低次の係数が0になりません。母関数から積分表示を作るときは、z = e^(iθ)と置いたdzの因子を落とさないでください。

確率：規格化と分散の変換を最初に確認する（2026年度・2023年度）

2026年度の正規分布では、変数変換dx = σdyの係数を落とすと規格化定数を1/√(2π)と誤り、σ = 2のとき全確率が2になります。確率密度は1を超えてよく、単位は変数の単位の逆数です。2023年度の天文学の待ち時間は、一定の割合で独立に起こる現象の指数分布で、これまで検出がなかったことが次の検出を起こりやすくするわけではありません。平均待ち時間は1/nで、密度が最大のt = 0とは違います。

連星：軌道半径と星の間隔を分ける（2025年度物理学1）

等質量の連星では、各星の円軌道の半径は星の間隔の半分です。間隔をそのまま軌道半径に使うと、角速度が正しい値の2倍になります。重力波の放射では、四重極モーメントが軌道の角速度の2倍で振動します。3階微分の周波数を軌道の角速度のまま計算すると、放射率は正しい値の1/64になります。後半は、放射でエネルギーを失った軌道半径の時間変化を微分方程式から求め、半径が半分になるまでの時間を出します。

統計・放射：数え落としと単位換算（2024年度・2022年度）

2024年度の物理学1では、励起状態の縮重度3を落とすと、低温での励起の割合が正しい値の約1/3になります。準位差と温度の比を出すときは、1 eVが約1.16×10⁴ Kに当たることを使い、温度の10⁴の桁を落とさないようにします。2022年度の天文学のサハの式では、自由電子のスピンの重み2を落とすと、弱電離のときの電離度を1/√2倍に小さく見積もります。温度とともに電離度が増え、約1万Kを超えると中性水素のn = 2の原子が減ってバルマー線が弱まる、という最後の説明は、この式の振る舞いから書けます。

熱・流体：不等号の向きを追う（2022年度物理学2）

2022年度の物理学2の前半は、周囲と圧力をそろえて断熱的に動く流体要素を考え、浮力が元の高さへ戻す条件から対流の安定条件を導きます。密度の比較を圧力勾配や温度勾配の式へ書き換える途中で、負の量で割る段階があり、そこで不等号の向きが変わります。上向きの変位だけで条件を作り、下向きの変位でも同じ結果になるかを確かめないと、安定と不安定を逆に書くことがあります。後半の衝撃波は、前後の質量・運動量・エネルギーの保存則を無次元化し、強い衝撃波でも圧縮の比に上限があることを導きます。

放射の場：遅延時刻の符号を図で決める（2026年度物理学2）

遅延ポテンシャルの問題では、源の点から観測点までの距離が短い部分ほど、信号を出した時刻が遅くてよいことを図で確かめてから展開します。符号を逆にすると、後の具体例で逆向きの場が出ます。ゲージ条件を使わずにベクトルポテンシャルの発散を0と置くと、時間変化する電荷の場合にスカラーポテンシャルの時間項を落とします。

天文学：保存する量を先に決める（2025年度天文学）

2025年度の天文学の後半は、圧力を失った一様な球が自分の重力で収縮する時間と、太陽がゆっくり質量を失うときの地球軌道を扱います。一様密度の球では、中心に届くまでの時間が各物質殻の初期半径によらず、初めの密度だけで決まります。全質量を一定と置くと、この性質が出てきません。

質量放出の問題では、太陽の重力が時間とともに変わるので、地球の力学的エネルギーは保存しません。重力は中心力なので、保存するのは角運動量です。各時刻の軌道を円と近似すると、太陽の質量と軌道半径の積が一定になり、質量が30%減ると軌道半径は1/0.70倍に広がります。質量が30%減るから距離も30%増えると考えると、この保存量に反します。最後は、太陽が広がった地球軌道まで膨張するときの半径が現在の何倍かを、太陽の視半径0.27度から求めます。度の値0.27をそのままラジアンとして正弦に入れると、太陽の見かけの大きさを約57倍に見積もってしまいます。

失点しやすい箇所

院試Hubの解説で取り上げている誤りのうち、答えが大きく変わるものです。右の列は、答案を出す前の確かめ方です。

分野別の練習と参考書

出題範囲が広いので、過去問で止まった論点から教科書の章へ戻る使い方をすすめます。分野ごとに、練習に使う年度と戻る範囲を対応させました。

条件の確かめ方から復習したい分野は、院試Hubの分野別ページも使えます。解析力学の一般化座標と保存量、電磁気学の境界条件、量子力学の境界条件と近似、統計力学の基本式、確率統計の出題傾向を、該当する大問の前に確認できます。

無料解答と解答PDFの使い方

次の6問は、年度別ページで解答と解説を無料で読めます。

数学は毎年の第1問なので、無料の5年分で、定義から性質を導く答案の書き方を確かめられます。自分の答案と照合するときは、最終式が合ったかに加え、低い次数の代入や特殊な値での検算を同じように入れたかを見てください。

天文学専攻 専門科目の解答・解説PDFは、2021〜2026年度の6回、全22大問・166設問を表紙込み153ページにまとめたものです。数学・物理学・天文学のすべての大問と、2021年度のオンライン特例の専門科目1・2を収録し、独自の説明図19点を含みます。原題の式や条件に不足がある箇所は、反例と成り立つ条件を本文に書いています。英語と問題本文・原図は収録していません。

理学系の他専攻の試験と比べる場合は、東大理学系の研究科ページと次のガイドが参考になります。

• 東大理物の院試過去問・解答
• 東大地球惑星科学の院試