東大理物の院試過去問・解答｜240分の試験形式と15年80問

2026年度第4問の解答・解説：冪零行列と特性曲線法

公式問題PDF8ページの問1と9ページの問2、計10小問を順に解きます。以下は院試hubの解答・解説です。大学が公開した出題意図には最終答は載っていません。

問1では、ベクトルの成分を1つ下へ送る行列の性質を使います。問2では、偏微分方程式を曲線上の常微分方程式に移し、初期条件から解を求めます。

問1：行列の冪・逆行列・微分方程式 ／ 問2：法線と特性曲線 ／ 微分可能な解が続かない理由

(1a) N=4でA²・A³・A⁴を求める

Aは対角線の1つ下だけがaで、他の成分は0の行列です。標準基底の第jベクトルに掛けると、j<Nではa倍した第j+1ベクトルへ移り、最後の基底ベクトルは0へ移ります。2回掛ければ2段下、3回なら3段下に成分が移るので、N=4では次の形です。

4回移すと、どの成分も4次元の範囲の外へ出ます。A自体は0でなくても、ある冪が零行列になる性質を冪零といいます。

(1b) 逆行列は有限の等比和で表せる

一般のNでも同じ移動の規則が成り立ちます。0乗は単位行列Iとし、0≤k≤N−1について各成分を書くと次のとおりです。

N回掛けるとAのN乗は零行列になります。そこで、IからAのN−1乗までの和をBと置きます。

左右どちらから掛けても単位行列になるので、Bが求める逆行列です。i≥jなら、和の中で(i,j)成分が0でない項はk=i−jの1つだけです。

対角成分は1、その下にa、a²、…と並びます。無限級数の収束を使っていないため、aの絶対値が1より小さいという条件は不要です。

(1c) 微分方程式は成分を上から積分する

微分方程式を成分ごとに書くと、最初の成分は定数、次の成分の微分は1つ前の成分のa倍です。

x₁=1から、x₂=at、x₃=a²t²/2と順に積分できます。一般には次の式になります。

i=1では常に1です。i≥2ではt=0で0となり、微分すればa倍した前の成分に戻るので、初期条件と方程式の両方を満たします。行列指数関数を使う場合も、冪零性により有限和になります。

(1d) 高い冪を掛け、係数を1つずつ消す

AのN−1乗を掛けたxが0でないと仮定します。N個のベクトルが線形独立であることを示すため、次の線形関係を考えます。

両辺にAのN−1乗を掛けると、k≥1の項はすべて0です。残る項からc₀=0が分かります。

次にAのN−2乗を掛けると、c₀の項は既に0で、k≥2の項も消えるため、c₁=0です。同様に、c₀,…,cᵣ₋₁が0と分かった段階でAのN−1−r乗を掛けると、次の関係だけが残ります。

r=N−1まで繰り返せば全係数が0です。したがって、x、Ax、…、AのN−1乗を掛けたxは線形独立です。仮定が使われるのは、残ったベクトルが0でないために係数を0と結論できる箇所です。

(1e) 固有値がすべて0でも、行列は0とは限らない

Aは対角成分がすべて0の下三角行列なので、特性多項式はλのN乗であり、固有値は0だけです。対角化できると仮定すると、対角行列Dの成分はすべて0となります。

しかしN≥2、a≠0では、(2,1)成分がaなのでAは零行列ではありません。矛盾するため対角化できません。固有空間で確認しても、Ax=0から最初のN−1成分が0となり、自由な成分は最後の1つだけです。N個の独立な固有ベクトルは得られません。

この結論にはN≥2が必要です。問題文の定義をN=1にも広げるとA=(0)になり、その場合は既に対角行列です。

(2a) 接ベクトルとの内積から法線を求める

解曲面をu=u(x,y)と表します。x方向とy方向の接ベクトルに対し、法線n=(nₓ,nᵧ,−1)の内積はどちらも0です。

したがって、求める成分はnₓ=uₓ、nᵧ=uᵧです。ここでは問題の指定どおり第3成分を−1とし、長さを1にする必要はありません。

(2b) 方程式が表す方向は解曲面に接する

a・b・cは同じ点(x,y,u)での値を表すものとします。nとd=(a,b,c)の内積を取り、元の偏微分方程式を使います。

dは法線に直交するため、解曲面の接平面に沿った方向です。この方向に進む曲線を使えば、曲面上の変化を1変数の微分方程式として追えます。

(2c) 曲線上の微分を連鎖律で書く

曲線のパラメータをsとし、問題で与えられた常微分方程式を考えます。

この曲線がグラフu=u(x,y)の上にあるところでは、合成関数u(x(s),y(s))の微分は次の形です。

よって元の偏微分方程式が得られます。実際に解を作る際は、初期線上の各点から曲線を伸ばし、その族を局所的にu(x,y)というグラフで表せる範囲を使います。1本の曲線を求めるだけで平面全体の解が決まるわけではなく、(e)ではこのグラフとしての表現が問題になります。

(2d) 初期値から線形方程式の解を求める

初期線上のx座標をξとします。s=0でx=ξ、y=0、u=cosξです。xとyの変化率はともに1、曲線上のuは指数減衰するので、初期値から次の式を得ます。

s=y、ξ=x−yを代入すると、解が求まります。

y=0では初期条件と一致します。また、直接微分すると次のとおりです。

2つを足すと正弦の項が消え、−uになることも確認できます。

(2e) 負の初期勾配があると、微分可能な解を保てない

特性曲線上でuは一定です。初期点をξとするとu=h(ξ)、y=sとなり、xの変化率もh(ξ)で一定です。

すべての正のyまで微分可能な解が存在すると仮定します。yを固定し、後式をξで微分すると、連鎖律から次の等式が必要です。

仮定よりh′(ξ₀)<0となる点ξ₀があります。その点について、次の正の値を選びます。

このyでは中括弧が0です。微分係数uₓが存在すれば左辺は0ですが、右辺h′(ξ₀)は負で0ではありません。矛盾するので、すべての正のyにわたって微分可能な解を保つことはできません。分母が0になる式だけで終えず、連鎖律の等式が成立しないところまで示せば証明になります。

図はh(ξ)=−ξの例です。初期位置ξが異なる特性曲線がy=1で同じ点に集まる一方、曲線上のu=−ξは互いに異なります。y<1ではξ=x/(1−y)と戻せるため、解とその勾配は次の式です。

yが1に近づくと勾配の絶対値が限りなく大きくなり、y=1まで微分可能な解として延ばせません。これは一般の証明を具体例で確かめたもので、すべての初期関数で最初に破綻するyが1だという意味ではありません。