院試 量子力学の対策境界条件と近似の確かめ方

求めたエネルギーや状態が、問題の境界条件と規格化を満たしているか。量子力学の答案は、まずそこを確かめます。

計算が止まったら原因を分けてください。微分方程式が解けないのか、演算子の定義があいまいなのか、近似を使ってよい条件が分からないのか。 以下の論点がどの研究科でも出るとは限りません。受験する募集の出題範囲と公式過去問を先に見ておきます。

学部で確かめておく基礎

• 線形代数：エルミート行列の固有値と、固有ベクトルの規格化・直交性。有限次元の計算で、状態と演算子の扱いに慣れておきます。
• フーリエ変換：位置表示と運動量表示の間の係数と規格化。波束と不確定性の問題で使います。
• 微分方程式：変数分離と座標系ごとのラプラシアン。
• 複素積分：グリーン関数の積分表示では、極の位置と積分路、それがどの境界条件に当たるかを確認します。
• 確率振幅：内積、期待値、遷移確率の定義。スピン成分がある場合、位置の確率密度は各成分の絶対値の2乗の和です。
• 特殊関数：エルミート多項式、球面調和関数、ラゲール多項式。調和振動子や水素原子の問題で、定義と直交性を使います。球対称ポテンシャルで動径部分と角度部分を分けたあとに出てくる関数です。

規格化したあとも、状態全体に掛かる一定の位相は任意です。 重ね合わせの成分どうしの相対位相とは別のもので、全体位相が違うだけなら同じ物理状態です。

論点別の計算と確認方法

公式を使った行には、その式の定義と前提を書き添えます。解き終えたら、元の方程式か規格化条件に戻して検算しましょう。

シュレディンガー方程式と1次元ポテンシャル

井戸、障壁、ステップ、デルタ関数。ポテンシャルの形が違えば、接続条件も変わります。 質量が一定の通常のシュレディンガー方程式で、ポテンシャルが有限な境界なら、波動関数とその1階導関数を連続につなぎます。 無限に高い壁では波動関数を壁で0とし、外側との導関数の連続性までは課しません。

V(x) = αδ(x) では、波動関数は連続ですが、導関数には ψ′(0+) − ψ′(0−) = (2mα/ℏ²)ψ(0) という跳びが出ます。 符号は、境界を挟む微小区間で方程式を積分すれば確かめられます。 αが正なら障壁、負なら引力。どちらで定義されているかも問題文と照らし合わせてください。 この条件はUC San Diegoの境界での接続条件の講義資料で確認できます。

各領域の解と未知係数を書き出し、境界条件、無限遠での減衰、入射波の指定と一つずつ対応させます。 束縛状態なら、非零解が存在する条件でエネルギーを決め、規格化はそのあとです。

散乱状態は入射と反射、透過を分けて扱い、透過率は確率流の比で求めます。左右で波数が違うなら、振幅比の絶対値の2乗はそのままでは透過率になりません。

角運動量とスピン

軌道角運動量では、交換関係 [Lᵢ, Lⱼ] = iℏ εᵢⱼₖ Lₖ と、L²とLzの固有値を分けて書きます。 規格化された基底の位相を通常の規約にそろえると、上昇下降演算子の作用は L±|l, m⟩ = ℏ√(l(l+1) − m(m±1)) |l, m±1⟩ です。 係数の2乗は内積から確かめられます。m = lで上昇、m = −lで下降させたら0になるか、も見ておきましょう。

合成角運動量のJは、|j₁ − j₂| から j₁ + j₂ まで1刻み。 クレブシュ・ゴルダン係数は、磁気量子数の和と状態の規格化を使って点検してください。 スピン1/2では交換子 AB − BA と反交換子 AB + BA を取り違えやすいので、 パウリ行列の関係 {σᵢ, σⱼ} = 2δᵢⱼ I を実際の行列積で確かめられるようにします。

摂動論と変分法

時間に依存しない摂動では H = H₀ + λH′と置き、元の固有値・固有状態と、補正の次数を区別します。 H₀の離散的な固有状態 |n⟩ が非縮退で、他の準位から離れているなら、 1次の係数は E_n⁽¹⁾ = ⟨n|H′|n⟩ です。

2次の係数は、離散固有状態の完全基底で扱える場合、|⟨m|H′|n⟩|² を元のエネルギー差 E_n⁽⁰⁾ − E_m⁽⁰⁾ で割り、m ≠ nについて足したものです。 分母に補正後のエネルギーを入れる誤りと、縮退して分母が0になるのに公式をそのまま使う誤りが目立ちます。

縮退があれば、その部分空間でH′の行列を対角化し、1次補正と基底を決めます。 1次で縮退が解けなかったら、状態はまだ一つに定まっていません。 準位が近いときも、摂動の行列要素とエネルギー差を比べて、補正が小さいという前提が成り立つかを見てください。 非縮退と縮退を分けた導出はMITの摂動論講義1.1・1.2節にあります。

変分法の試行関数は、境界条件を満たし、規格化でき、エネルギー期待値が有限になるものを選びます。 規格化していない関数なら、期待値の分子をノルムの2乗で割ります。 対称性を指定された状態を求めるときは、その条件も試行関数に入れてください。

パラメータで最小化して得られるのは、その試行関数の範囲での上界です。真の基底エネルギーと一致するとは限りません。MITの変分原理の説明には、規格化しない場合の式も載っています。

フェルミの黄金律を使う前に、弱い摂動で、連続的な終状態への遷移として扱えるかを確かめます。 時間によるエネルギー幅が十分狭くなり、それでも遷移確率はまだ小さい。この二つが同時に要ります。 定常的な摂動と周期的な摂動ではエネルギー条件が違うので、時間依存性を見てから式を選んでください。

矩形パルスがいつでも前提になるわけではありません。MITの時間依存摂動論4.3節のように、近似に使う時間の範囲を確かめます。

散乱問題

ボルン近似、部分波展開、位相のずれ。どれを使うにしても、先に入射波と遠方の散乱波の定義をそろえます。 短距離の球対称ポテンシャルによる、スピンを扱わない弾性散乱では、入射平面波と外向き球面波の係数として f(θ) を定義すると、 微分断面積は dσ/dΩ = |f(θ)|² です。定義の違う散乱振幅を混ぜてはいけません。

1次ボルン近似は、ポテンシャルを含む積分の中の波動関数を入射平面波で置き換えた近似です。 ポテンシャルが弱いかどうかは値の大小だけでは決まりません。入射エネルギーや作用範囲も含め、問題が指定する近似条件を確認してください。 部分波展開なら、球対称性が使えるかを確かめ、角運動量ごとの動径解と位相のずれを対応させます。

散乱振幅の規約が同じなら、光学定理 σ_total = (4π/k) Im f(0) が全断面積の検算に使えます。 ただし、1次ボルン近似の振幅と、その絶対値の2乗から求めた断面積を比べるだけでは、摂動の次数がそろわないことがあります。 適用条件と近似の次数を確かめてから照らし合わせましょう。

MITの散乱の講義7.1〜7.3節で、散乱振幅の定義と部分波、ボルン近似をまとめて確認できます。

同種粒子と多体系の基礎

同種粒子を交換するときは、位置だけでなくスピンも含めた全状態を入れ替えます。 ボソンなら対称、フェルミオンなら反対称。この条件は全波動関数で確かめてください。 空間部分とスピン部分の積で書ける状態なら、両方の交換対称性を掛け合わせます。一般の状態がいつも一つの積に分かれるわけではありません。

2電子の空間部分が対称ならスピンは一重項、反対称なら三重項です。 ヘリウムの基底配置を、2個の電子が同じ1s軌道を占める近似で表すと、空間部分は対称でスピンは一重項になります。 この配置に三重項は入りません。

スレーター行列式では、粒子を交換すると行か列が入れ替わって符号が変わること、同じスピン軌道を重ねると0になることを確かめます。

第二量子化が受験範囲にあるなら、ボソンの交換関係とフェルミオンの反交換関係を区別します。生成消滅演算子を作用させたあとは、占有数と規格化を点検してください。 反対称化と2電子のスピンの扱いは、MITの同種粒子の講義8.3〜8.5節で読めます。

定義や計算方法を教科書で確かめ直したいなら、量子力学の教科書・演習書の選び方から、復習したい内容に合う教材と章を探せます。