東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 2021年度 院試 過去問 解答例・解説（全7問）

方針

評価写像の核は「指定点で消える多項式」の空間である。 根を因数として抜き出すと，次元と共通部分がすぐ見える。

直和判定

「和が直和でない」とは，共通部分が $0$ でないという意味である。 和空間そのものをすべて求める必要はなく，共通部分に非零多項式が存在する条件を調べればよい。

検算

$a=0$ または $a=2/3$ のとき，実際に $x^2(x-1)$ は $$f(0)=f(1)=f'(0)=0,\qquad f'(a)=0$$ を満たす。逆に，この形以外の非零多項式は条件 $f(0)=f'(0)=f(1)=0$ から残らない。

方針

被積分関数 $x^3+y^3$ は三次同次式なので，領域の拡大率から積分は $a^5$ 倍になる。 残る本質は回転角の最適化であり，これは $\cos\theta$ の一変数問題に落ちる。

一様な誤差評価

$M_a$ は $\theta$ について最大を取るので，$e^z-1=z+O(a^6)$ の誤差が回転角に依存しないことを書く必要がある。 この一様性があるため，最大値を取っても $$M_a=L_a+O(a^8)$$ と扱える。

典型ミス

$\theta=0$ の値 $a^5/2$ は最大ではない。 $\phi(z)=z-z^3/2$ の最大は $z=1$ ではなく $z=\sqrt{2/3}$ である。

方針

$f$ は和，$g$ は積分で定義されているが，$(2)$ が両者を結ぶリーマン和型の評価である。 先に $g$ の漸近形を求め，最後に $f-g=O(x)$ を示すのが自然である。

小さい $x$ の主項

$\int_x^\infty \cos u/u\,du$ の発散は $0$ 近傍の $\int_x^1du/u$ から来る。 したがって主項は $x\log(1/x)$ であり，$\sin x\sim x$ は主項より一段小さい。

採点上の注意

$(2)$ では導関数を直接評価すると $2/n^3$ 型の項が出て，小さい $x$ に対して $Cx/n^2$ と言いにくい。 $|\sin(nx)|\le nx$ を使って第二項にも $x$ を取り出すのが要点である。

方針

テンソル冪はスカラー倍を $r$ 乗として見る。 したがって $\zeta^r=1$ の自由度が出ることは最初に予想できる。

単射性の確認

非零ベクトル $w$ に対し，写像 $$u\longmapsto u\otimes w^{\otimes(r-1)}$$ は単射である。実際，$w$ に対して $\lambda(w)=1$ となる線型汎関数 $\lambda$ を取れば， 後ろの $r-1$ 個に $\lambda$ を作用させて $u$ を取り戻せる。

典型ミス

$g(v)^{\otimes r}=f(v)^{\otimes r}$ だけを見ると，根 $\zeta$ が $v$ ごとに変わるように見える。 しかし混合テンソル $$g(v)\otimes g(v_0)^{\otimes(r-1)}$$ を使うと，同じ $\zeta$ が全ての $v$ に対して働くことが分かる。

方針

与えられた $\Gamma(1/(2p))$ から，指数を $u^{1/(2p)-1}$ にそろえる変数変換 $u=x^p$ を選ぶ。 あとはフーリエ型ガンマ積分に帰着する。

収束条件

$0$ 近傍では $u^{\alpha-1}\sin u\sim u^\alpha$ なので問題ない。 $\infty$ 側では絶対収束ではなく，$0<\alpha<1$ の振動積分として収束する。 仮定 $p>1/2$ はこの $\alpha<1$ を保証している。

公式の導出メモ

必要なら $$\int_0^\infty e^{-zu}u^{\alpha-1}\,du=\Gamma(\alpha)z^{-\alpha} \qquad(\operatorname{Re}z>0)$$ を $z=\varepsilon-i$ としてから $\varepsilon\to+0$ とし，虚部を取ればよい。

方針

$t^2x''-2x=2t$ と見ればオイラー型である。 斉次解の指数を先に決め，右辺 $2/t$ に合わせて一次式 $-t$ を特殊解に取る。

広義積分の判定

$t^2$ と $t$ の項は $0$ 近傍でも十分可積分である。 発散を生む可能性があるのは $t^{-1}$ の項だけであり， $$\int_0^1 t^{-1}|\log t|^n\,dt$$ は無限大になる。したがって係数を $0$ にする条件が必要十分である。

検算

$b=2a+1$ なら $x(1)=a$，かつ $$x'(t)=2(a+1)t-1$$ なので $x'(1)=2a+1=b$ である。初期条件とも整合している。

方針

一般の連続関数全体では，一様収束位相は点別収束位相より真に強い。 しかしここでは関数が単調増加であるため，有限個の点で値を押さえると区間全体の値も挟み込める。

分割の取り方

単調性だけではなく，基準となる $f$ の連続性が重要である。 連続な単調関数はコンパクト区間上一様連続であり，分割を細かくすれば各小区間での増分を任意に小さくできる。

典型ミス

「点別収束と一様収束は一般には違う」という記憶だけで不一致と答えると誤りである。 この問題では $M$ という単調関数の制限が効いており，点評価の有限個の条件から一様な制御が得られる。