東大 学際情報学府 学際情報学専攻 先端表現情報学コース 専門科目 2019年度 院試 過去問 解答例・解説（全7問）

行列を $$A=\begin{pmatrix} 1&p&p^2\\ q&1&q^2\\ r^2&r&1 \end{pmatrix}$$ とおく。行列式を計算すると $$\det A=(pr-1)(pq-pr+q^2r-1).$$ よってこの値が $0$ でなければ $\operatorname{rank}A=3$ である。

次に $\det A=0$ の場合を考える。階数が $1$ になるには全ての2次小行列式が $0$ でなければならない。特に $$1-pq=0,\qquad q(p^2-q)=0,\qquad p(p-q^2)=0,\qquad r(q-r)=0,\qquad 1-q^2r=0$$ などが必要である。$pq=1$ より $p,q$ は非零で、$q=p^2,\ p=q^2$ から $p=p^4$、実数解として $p=1$、したがって $q=1$。さらに $r(q-r)=0$ と他の小行列条件から $r=1$。このとき行列は全成分が $1$ となり、階数は $1$ である。

したがって $$\operatorname{rank}A= \begin{cases} 3, & (pr-1)(pq-pr+q^2r-1)\ne0,\\ 1, & (p,q,r)=(1,1,1),\\ 2, & \text{上記以外で }(pr-1)(pq-pr+q^2r-1)=0. \end{cases}$$

行列 $$A=\begin{pmatrix} a&0&0\\ 0&a&-1\\ 0&-1&a \end{pmatrix}$$ は対称行列である。第1成分方向の固有ベクトル $$u_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$ に対する固有値は $a$。残りの $2\times2$ ブロックについて $$u_2=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\qquad u_3=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$$ を取ると、それぞれ固有値は $a-1,\ a+1$ である。したがって $$P=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1/\sqrt2&1/\sqrt2\\ 0&1/\sqrt2&-1/\sqrt2 \end{pmatrix}$$ とすれば $$P^{\mathsf T}AP=\operatorname{diag}(a,a-1,a+1).$$

$u=a/x$ とおくと、$x\to\infty$ のとき $u\to0$ であり $$x\sin\frac{a}{x} =a\frac{\sin u}{u}.$$ よって $$\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{a}{x}=a.$$

制約 $$\sum_{i=1}^n x_i^n=1,\qquad x_i>0$$ の下で $S=\sum_i x_i$ を最大化する。ラグランジュ関数 $$L=\sum_{i=1}^n x_i-\lambda\left(\sum_{i=1}^n x_i^n-1\right)$$ を用いると $$\frac{\partial L}{\partial x_i}=1-\lambda n x_i^{n-1}=0.$$ すべての $x_i$ が等しくなるので $x_i=c$。制約から $$nc^n=1,\qquad c=n^{-1/n}.$$ したがって $$x_1=\cdots=x_n=n^{-1/n},\qquad S_{\max}=n\cdot n^{-1/n}=n^{1-1/n}.$$

$u=x+y$ とおくと $$u'=1+y'=1+u^2.$$ よって $$\frac{du}{1+u^2}=dx,\qquad \arctan u=x+C.$$ したがって $$x+y=\tan(x+C),\qquad y=\tan(x+C)-x.$$

微分方程式は $$y'+2y=e^{-x}\cos x,\qquad y(0)=0$$ である。積分因子は $e^{2x}$ なので $$(e^{2x}y)'=e^x\cos x.$$ $$\int e^x\cos x\,dx=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}$$ より $$y=\frac12 e^{-x}(\sin x+\cos x)+Ce^{-2x}.$$ 初期条件から $0=\frac12+C$、すなわち $C=-\frac12$。よって $$y=\frac12\left\{e^{-x}(\sin x+\cos x)-e^{-2x}\right\}.$$