東大 学際情報学府 学際情報学専攻 先端表現情報学コース 専門科目 2010年度 院試 過去問 解答例・解説（全11問）

特性方程式の根を $m\pm ni$ とする。係数は実数なので、複素解 $$e^{(m+ni)x}=e^{mx}(\cos nx+i\sin nx)$$ の実部と虚部も元の微分方程式の解である。したがって $$f_1(x)=e^{mx}\cos nx,\qquad f_2(x)=e^{mx}\sin nx$$ はともに解である。

さらに $$\begin{aligned} f_1'(x)&=e^{mx}(m\cos nx-n\sin nx),\\ f_2'(x)&=e^{mx}(m\sin nx+n\cos nx) \end{aligned}$$ より、Wronski 行列式は $$W(x)=f_1f_2'-f_1'f_2=ne^{2mx}$$ である。$n\ne0$ だから $W(x)\ne0$ であり、2 つの解は一次独立である。二階線形同次方程式の解空間は 2 次元なので、これらは 1 組の基本解である。

特性方程式は $$\lambda^2+4\lambda+16=0$$ で、根は $$\lambda=-2\pm 2\sqrt{3}\,i$$ である。よって $$f(x)=e^{-2x}\{A\cos(2\sqrt{3}x)+B\sin(2\sqrt{3}x)\}$$ とおける。初期条件 $f(0)=\sqrt{3}$ から $A=\sqrt{3}$ である。また $$f'(0)=-2A+2\sqrt{3}\,B=0$$ より $B=1$ である。したがって $$f(x)=e^{-2x}\{\sqrt{3}\cos(2\sqrt{3}x)+\sin(2\sqrt{3}x)\}.$$ これは $$f(x)=2e^{-2x}\sin\left(2\sqrt{3}x+\frac{\pi}{3}\right)$$ と書ける。

極値条件は $$f'(x)=2e^{-2x}\left\{2\sqrt{3}\cos\theta-2\sin\theta\right\}=0, \qquad \theta=2\sqrt{3}x+\frac{\pi}{3}$$ である。したがって $\tan\theta=\sqrt{3}$、すなわち $$\theta=\frac{\pi}{3}+k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})$$ となるので $$x=\frac{k\pi}{2\sqrt{3}}$$ である。この点で $$f(x)=\sqrt{3}(-1)^k e^{-2x}$$ だから、極大は $k$ が偶数のときである。$x>0$ なので $$x=\frac{j\pi}{\sqrt{3}}\qquad(j=1,2,\ldots)$$ が極大点である。

同次方程式の特性根は $$\lambda=-1\pm \sqrt{3}\,i$$ であるから、同次解は $$f_h(x)=e^{-x}\{C_1\cos(\sqrt{3}x)+C_2\sin(\sqrt{3}x)\}$$ である。

右辺の $e^{2x}$ に対して $Ae^{2x}$ を代入すると $$(4A+4A+4A)e^{2x}=12Ae^{2x}$$ なので $A=1/12$ である。右辺の $\sin x$ に対して $$p(x)=\alpha\sin x+\beta\cos x$$ とおくと $$p''+2p'+4p=(3\alpha-2\beta)\sin x+(2\alpha+3\beta)\cos x.$$ よって $$3\alpha-2\beta=1,\qquad 2\alpha+3\beta=0$$ から $$\alpha=\frac{3}{13},\qquad \beta=-\frac{2}{13}.$$ 以上より一般解は $$f(x)=e^{-x}\{C_1\cos(\sqrt{3}x)+C_2\sin(\sqrt{3}x)\} +\frac{1}{12}e^{2x}+\frac{3\sin x-2\cos x}{13}.$$

もっとも直接的には、次の再帰関数で $a_n$ を求められる。

この実装では同じ部分問題を何度も計算する。実行時間 $T(n)$ は $$T(n)=T(n-1)+T(n-2)+O(1)$$ を満たすので、時間計算量は $O(\varphi^n)$、再帰の深さは $O(n)$ である。ただし $\varphi=(1+\sqrt{5})/2$ である。配列に値を保存する、または $a_0,a_1$ から順に更新する実装にすれば、時間計算量は $O(n)$、追加メモリは $O(1)$ にできる。

$$\begin{pmatrix}a_n\\a_{n-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{n-1}\\a_{n-2}\end{pmatrix}$$ なので $$Q=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}.$$ したがって $n\ge1$ について $$\begin{pmatrix}a_n\\a_{n-1}\end{pmatrix} = Q^{n-1} \begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}$$ であり、$a_n$ はこのベクトルの第 1 成分である。

$Q^{n-1}$ を逐次に $n-1$ 回掛ける必要はない。二分累乗法を使い、 $$Q^r= \begin{cases} (Q^{r/2})^2 & r\text{ が偶数},\\ Q(Q^{(r-1)/2})^2 & r\text{ が奇数} \end{cases}$$ と再帰的に計算する。$2\times2$ 行列の積は定数個の四則演算で済むので、算術演算回数としては $O(\log n)$ である。大きな整数を正確に扱う場合には、整数の桁数増加に応じた多倍長整数演算のコストが別に加わる。

$F_0=0,F_1=1$ を Fibonacci 数とすると $$a_n=F_{n-1}x+F_ny\qquad(n\ge1)$$ である。$x=1,y=3$ のとき $$a_{48}=F_{47}+3F_{48}.$$ $F_{47}=2971215073,\ F_{48}=4807526976$ だから $$a_{48}=2971215073+3\cdot4807526976=17393796001.$$

剰余の組 $$(a_{m,n-1},a_{m,n})$$ に注目する。次の組は $$(u,v)\longmapsto (v,u+v\bmod m)$$ で一意に決まる。可能な組は高々 $m^2$ 個しかないので、鳩の巣原理により同じ組が再び現れる。

さらにこの写像には $$(u,v)\longmapsto (v-u,u)\pmod m$$ という逆写像がある。したがって途中からではなく、初期組から周期的に同じ列が繰り返される。

$x=1,y=3$ の場合は、3 で割った余りの初期値が $$a_{3,0}=1,\qquad a_{3,1}=0$$ である。組で追うと $$\begin{aligned} &(1,0)\to(0,1)\to(1,1)\to(1,2)\\ &\to(2,0)\to(0,2)\to(2,2)\to(2,1)\to(1,0) \end{aligned}$$ となる。よって周期は $8$ であり、剰余列は $$1,0,1,1,2,0,2,2$$ を繰り返す。

片側 $z$ 変換を用いると、信号系列 $x(n)$ の $z$ 変換は $$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n}$$ で定義される。両側 $z$ 変換を採る流儀では、和の範囲を $n=-\infty$ から $\infty$ までとする。

図の中間信号を $U(z)$ とする。出力側では、直接経路と 1 サンプル遅延後の係数 $c$ の経路が加算されるので $$Y(z)=U(z)+cz^{-1}U(z)=(1+cz^{-1})U(z).$$ 入力側では、入力 $X(z)$ と、$U(z)$ を 1 サンプルおよび 2 サンプル遅延して係数 $a,b$ を掛けた信号が加算される。したがって $$U(z)=X(z)+az^{-1}U(z)+bz^{-2}U(z).$$ よって $$U(z)=\frac{X(z)}{1-az^{-1}-bz^{-2}}$$ であり、伝達関数は $$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} =\frac{1+cz^{-1}}{1-az^{-1}-bz^{-2}}.$$

$a=3/4,\ b=-1/8,\ c=1$ のとき $$H(z)=\frac{1+z^{-1}}{1-\frac{3}{4}z^{-1}+\frac{1}{8}z^{-2}} = \frac{1+z^{-1}}{(1-\frac{1}{2}z^{-1})(1-\frac{1}{4}z^{-1})}.$$ 極は $$z=\frac{1}{2},\quad z=\frac{1}{4}$$ であり、どちらも単位円の内側にある。したがって因果的に実現する場合、このフィルタは BIBO 安定である。

入力が $x(n)=(-1)^n\ (n\ge0)$ であるから $$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-z^{-1})^n=\frac{1}{1+z^{-1}}.$$ したがって $$Y(z)=H(z)X(z) = \frac{1}{(1-\frac{1}{2}z^{-1})(1-\frac{1}{4}z^{-1})}.$$ 部分分数分解すると $$Y(z)=\frac{2}{1-\frac{1}{2}z^{-1}} -\frac{1}{1-\frac{1}{4}z^{-1}}.$$ よって $$y(n)=2\left(\frac{1}{2}\right)^n-\left(\frac{1}{4}\right)^n \qquad(n\ge0)$$ である。

概形は、$y(0)=1,\ y(1)=3/4,\ y(2)=7/16$ から始まり、正の値を保ったまま 0 に単調に近づく。

$L$ はインダクタンス、またはその素子であるインダクタを表す。受動符号規約で電圧を $E$、電流を $I$ とすると $$E=L\frac{dI}{dt}$$ である。

$C$ はキャパシタンス、またはその素子であるコンデンサを表す。関係式は $$I=C\frac{dE}{dt}$$ であり、同値に $$E(t)=\frac{1}{C}\int I(t)\,dt+E(0)$$ と書ける。

$1.5\,\mathrm{k\Omega}$ の抵抗 1 本と、$1.5\,\mathrm{k\Omega}$ を 2 本直列にした $3.0\,\mathrm{k\Omega}$ の枝を並列にする。 $$R_{\mathrm{eq}} = \frac{1.5\times3.0}{1.5+3.0}\,\mathrm{k\Omega} = 1.0\,\mathrm{k\Omega}.$$ 概念図で書けば次の接続である。

DC モータをオン・オフする低側スイッチとして、パワートランジスタまたは N チャネル MOSFET を入れる。制御信号はトランジスタのベースまたは MOSFET のゲートに与え、モータ電流を制御する。実回路では、モータの逆起電力からスイッチ素子を守るため、モータに並列にフライバックダイオードを入れる。

代表的には PWM 制御を用いる。一定周期の矩形波を制御信号として与え、そのデューティ比を変えると、モータに加わる平均電圧が変わる。周期を機械系の応答より十分短くすれば、回転速度はほぼ連続的に変化する。

1. ひずみゲージの微小な抵抗変化を読む代表的な回路は Wheatstone ブリッジである。4 抵抗の橋形回路に入力電圧 $E$ を印加し、中央 2 点間の差動電圧 $e$ を測る。

   ゲージ率を $K$ とすると $$\frac{\Delta R}{R}=K\varepsilon$$ である。1 枚のひずみゲージだけが変化する 1 ゲージ法の小信号近似では $$\frac{e}{E}\simeq \frac{1}{4}\frac{\Delta R}{R} = \frac{K\varepsilon}{4}$$ なので $$\varepsilon\simeq \frac{4e}{KE}$$ である。符号は、ゲージをブリッジのどの腕に入れ、出力端子をどちら向きに取るかで反転する。

2. 4 隅の座標を $$s_1=(a,b),\quad s_2=(-a,b),\quad s_3=(-a,-b),\quad s_4=(a,-b)$$ とする。各支持点の上向き反力を $F_1,\ldots,F_4$ と読むと、鉛直方向のつり合いから $$F_1+F_2+F_3+F_4=F+Mg$$ である。したがって外力の大きさは $$F=F_1+F_2+F_3+F_4-Mg.$$ 重力は板の中心に働くので、中心まわりのモーメントのつり合いから $$Fx=a(F_1+F_4-F_2-F_3),$$ $$Fy=b(F_1+F_2-F_3-F_4)$$ である。よって $$x=\frac{a(F_1+F_4-F_2-F_3)}{F_1+F_2+F_3+F_4-Mg},$$ $$y=\frac{b(F_1+F_2-F_3-F_4)}{F_1+F_2+F_3+F_4-Mg}.$$

この判定方法は、一般にチューリング・テストと呼ばれる。

概略は次の通りである。判定者は、相手が人間か機械かを直接見ることができない状態で、文字による質疑応答を行う。判定者は会話の内容だけを手がかりに、人間と機械を区別しようとする。十分な時間や質問を与えても判定者が機械を人間と区別できなければ、その機械は知的に振る舞っているとみなす。これは「内面に本当に心があるか」ではなく、観察可能な言語的振る舞いを基準にする方法である。

答案例を示す。

チューリング・テストは、知能を内面的な実体ではなく、対話に現れる振る舞いとして評価する点で人工知能研究に大きな影響を与えた。特に、機械が人間らしく応答するためには、文を解析し、文脈に合った返答を生成する必要があるため、自然言語処理 の発展を強く促した。また、文字だけでなく音声対話に拡張すれば、音響認識や発話生成を含む 音声処理 も重要になる。実際、初期の対話システムである Eliza は、単純なパターン変換でも相手が意味を理解しているかのような印象を与えられることを示した。このことは、テストに合格するように見えることと、実際に理解していることが同じではないという批判にもつながる。

哲学的批判として有名なのが John Searle の 中国語の部屋 である。これは、記号操作の規則に従って正しい中国語応答を返せても、操作者が中国語を理解しているとは限らない、という議論である。つまり、チューリング・テストは構文的な応答能力を測れるが、意味理解や意識の有無を直接測るものではない。また、人間らしい会話には日常的な 常識 が不可欠であり、表面的な会話の模倣だけでは長い対話や状況判断で破綻しやすい。さらに、Loebner Prize のような競技はこのテストを具体化したが、短時間で審査員を欺く戦略が重視され、知能の本質的理解とはずれる場合がある。したがって、チューリング・テストは人工知能の実用的な目標を与えた一方で、知性を「人間らしく見える会話」に狭く限定する危険も持つ。

IEEE 754 単精度は、符号 1 ビット、指数 8 ビット、仮数部 23 ビットである。正の数なので符号ビットは全て $0$ である。

$1.25$ では、仮数部の 2 ビット目だけが 1 になり、仮数部は 0x200000 である。

RAID は複数のディスクを組み合わせ、性能や信頼性を高める構成法である。代表的なレベルは次の通りである。

• RAID 0: データを複数ディスクに分散して書くストライピングである。速度と容量効率は高いが冗長性はない。

• RAID 1: 同じデータを複数ディスクに書くミラーリングである。片方が故障してもデータを保持できるが、容量効率は下がる。

• RAID 3/4: データを分散し、専用のパリティディスクを置く方式である。1 台故障まではパリティから復元できるが、パリティディスクがボトルネックになりやすい。

• RAID 5: ブロック単位でストライピングし、パリティも各ディスクに分散する方式である。1 台故障に耐え、RAID 4 より負荷を分散できる。

• RAID 6: 2 種類のパリティを持つ方式である。2 台同時故障に耐えられるが、書き込みコストは大きい。

DMA は Direct Memory Access の略で、CPU がデータを 1 語ずつ転送するのではなく、DMA コントローラまたはバスマスタ機能を持つ入出力装置が主記憶へ直接読み書きする方式である。CPU は転送元、転送先、サイズなどを設定し、完了時に割込みで通知を受ける。

典型例は、ディスクから主記憶へのブロック読み込み、ネットワークインタフェースとメモリ間のパケット転送、音声・動画データの連続転送である。大きな連続データを扱う処理では、CPU のコピー負荷と割込み回数を減らせるため有効である。

参照列に対して LRU、ページ枠数 4 で追跡すると、ページフォールトは次の位置で起こる。 $$\begin{array}{c|cccccccccccc} \text{参照} &0&1&2&3&0&1&4&0&1&2&3&4\\ \hline \text{結果} &F&F&F&F&H&H&F&H&H&F&F&F \end{array}$$ ここで $F$ は fault、$H$ は hit を表す。したがってページフォールト回数は $$8$$ である。

FIFO でページ枠数 3 の場合は $$\begin{array}{c|cccccccccccc} \text{参照} &0&1&2&3&0&1&4&0&1&2&3&4\\ \hline \text{結果} &F&F&F&F&F&F&F&H&H&F&F&H \end{array}$$ となり、ページフォールト回数は $9$ である。

FIFO でページ枠数 4 の場合は $$\begin{array}{c|cccccccccccc} \text{参照} &0&1&2&3&0&1&4&0&1&2&3&4\\ \hline \text{結果} &F&F&F&F&H&H&F&F&F&F&F&F \end{array}$$ となり、ページフォールト回数は $10$ である。ページ枠数を 3 から 4 に増やしたのに、FIFO ではフォールトが増えている。これは Belady の異常の例である。

LRU では、ページ枠数が $k$ のとき保持されるページ集合は、ページ枠数が $k+1$ のとき保持されるページ集合の部分集合になる。これは LRU が「最近使われた順」の上位 $k$ 個を保持するスタック性を持つためである。したがって、$k$ 枠でヒットする参照は $k+1$ 枠でも必ずヒットし、ページフォールト回数は増えない。

実現可能な近似として Clock アルゴリズム、または Second Chance アルゴリズムがある。各ページに参照ビットを持たせ、ページ置換時に環状リストを走査する。参照ビットが 1 のページは 0 に戻して置換を見送り、参照ビットが 0 のページを置換対象にする。これにより、最近参照されたページにもう一度残る機会を与えられる。

現実の OS では、単純な FIFO だけに頼らず、参照ビットや更新ビットを用いた active/inactive リスト、Clock 系の近似 LRU、ワーキングセット制御などを組み合わせる。頻繁に使われるページは active 側に昇格させ、しばらく参照されないページを inactive 側から回収する。また、I/O 中のページやカーネルが必要とするページはページロックにより置換対象から外す。

昇順に整列する例として、挿入ソートを用いる。

挿入ソートは単純で、配列をその場で書き換える。最悪時間計算量は $O(n^2)$、追加記憶量は $O(1)$ である。

連結リストをその場で逆順にするには、現在位置、直前のノード、次のノードを持ってポインタを張り替えればよい。

ループが終わると、`prev` が元の末尾ノード、すなわち反転後の先頭ノードを指している。時間計算量は $O(n)$、追加記憶量は $O(1)$ である。

Version には IP プロトコルの版番号が入る。IPv4 パケットなら 4 である。このフィールドがあることで、受信側やルータはヘッダ形式を識別し、どの規則で解釈すべきかを判断できる。

Identification は、元の IP データグラムを識別する値であり、断片化されたフラグメントを再構成するときに同じデータグラム由来であることを示す。Flags には、断片化禁止を表す DF や後続フラグメントの存在を表す MF などが入る。Fragment Offset は、そのフラグメントが元のデータグラムのどの位置に対応するかを示す値で、8 オクテット単位で表される。

Time to Live は、パケットがネットワーク内を無限に巡回することを防ぐための寿命である。各ルータは転送時に TTL を少なくとも 1 減らし、0 になったパケットを破棄する。これにより経路ループが起きてもパケットが残り続けない。

Protocol は、IP ペイロードをどの上位プロトコルに渡すかを示す番号である。例えば ICMP、TCP、UDP などを識別し、受信ホストで適切な処理へ多重分離するために使われる。

Header Checksum は、IPv4 ヘッダ部分の誤り検出のためにある。TTL などヘッダ値がルータで変わるため、ルータは転送時にチェックサムを更新する。なお、チェック対象は IP ヘッダであり、ペイロード全体ではない。

通常のルータ転送で不変なものと更新されるものは、概ね次のように分けられる。

TTL はループ防止のため転送ごとに減る。TTL が変わるので Header Checksum も更新される。輻輳通知や管理ポリシーにより DSCP/ECN が変更される場合がある。経路 MTU に合わせて断片化が行われる場合には、Total Length、Flags、Fragment Offset、Header Checksum も変わる。NAT はアドレスやポートも書き換えるが、これは通常の IP ルータ処理に加えられた変換機能である。

NAT では、内部ネットワークのプライベートアドレスを使う端末が外部へ通信するとき、NAT 装置が送信元アドレスをグローバルアドレスに書き換える。NAPT では送信元ポート番号も同時に書き換え、 $$(\text{内部 IP},\text{内部ポート}) \leftrightarrow (\text{外部 IP},\text{変換後ポート})$$ の対応を変換表に保存する。

外部サーバからの応答は、宛先アドレスと宛先ポートを見て変換表に照合され、内部端末のアドレスとポートへ戻される。このとき IP ヘッダチェックサム、TCP/UDP チェックサムも再計算される。外部から内部へ新規接続を受けたい場合は、静的 NAT やポートフォワーディングなどの設定が必要になる。

IP の新バージョンへの移行が進みにくい理由は、IPv4 と IPv6 がそのままでは互換でなく、全ての端末、ルータ、ミドルボックス、運用手順、監視システム、アプリケーションを一度に変えることが難しいからである。また NAT により IPv4 アドレス枯渇の痛みが緩和され、利用者に直接見える利益が小さくなったことも移行を遅らせた。

解決には、双方向互換を完全に待つのではなく、デュアルスタック、NAT64/DNS64、トンネル、IPv6 対応を調達条件にすること、主要サービスを IPv6 で確実に提供することが必要である。特に、運用者にとって IPv6 を入れる方が長期的に安く安全になるよう、アドレス設計、監視、セキュリティ設定の標準化を進めるべきである。

1. 各桁に全加算器を並べた 4 ビット加算器である。各ビットについて $$P_i=A_i\oplus B_i,\qquad G_i=A_iB_i$$ とおくと $$Y_i=P_i\oplus C_i,\qquad C_{i+1}=G_i+P_iC_i$$ である。下位桁の桁上がり $C_i$ が次の桁へ順に伝わるので、リップルキャリー加算器である。

2. 同じく 4 ビット加算器だが、桁上がりを先読みする carry lookahead adder である。例えば $$\begin{aligned} C_1&=G_0+P_0C_0,\\ C_2&=G_1+P_1G_0+P_1P_0C_0,\\ C_3&=G_2+P_2G_1+P_2P_1G_0+P_2P_1P_0C_0,\\ C_4&=G_3+P_3G_2+P_3P_2G_1+P_3P_2P_1G_0+P_3P_2P_1P_0C_0. \end{aligned}$$ これにより、桁上がりが下位桁から 1 段ずつ伝搬するのを待たずに、複数の桁上がりを並列に計算できる。利点は加算遅延が小さいことである。

1. 回路は JK フリップフロップである。次状態 $Q^+$ の真理値表を Karnaugh 図の形に並べると次のようになる。

   	$JK=00$	$01$	$11$	$10$
   $Q=0$	0	0	1	1
   $Q=1$	1	0	0	1

   これを簡単化すると $$Q^+=J\overline{Q}+\overline{K}Q$$ である。したがって $J,K$ の働きは次の通りである。

   $JK$	動作
   00	保持
   01	リセット
   10	セット
   11	反転

2. 各 JK フリップフロップで $J=K=1$ になっているため、各段は有効クロックのたびに反転する。第 1 段の出力を $B_0$ とすると、$B_0$ は入力クロックの 2 分周になる。第 2 段は第 1 段の反転出力をクロックとして受けるので $B_1$ はさらに 2 分周、第 3 段の $B_2$ はさらに 2 分周になる。

   したがって全体は 3 ビットの非同期リップルカウンタであり、初期値を $000$ とすれば、エッジの取り方に応じて $$000,001,010,011,100,101,110,111$$ のように 8 状態を周期的に巡回する。

比較器出力 $A_0,\ldots,A_4$ は、入力電圧がしきい値を越えるにつれて下位から 1 になる温度計コードとみなせる。有効な入力を $$\begin{array}{c|ccccc|ccc} \text{レベル} & A_4&A_3&A_2&A_1&A_0&S_2&S_1&S_0\\ \hline 0&0&0&0&0&1&0&0&0\\ 1&0&0&0&1&1&0&0&1\\ 2&0&0&1&1&1&0&1&0\\ 3&0&1&1&1&1&0&1&1\\ 4&1&1&1&1&1&1&0&0 \end{array}$$ とする。

境界を取り出す信号 $$\begin{aligned} T_0&=A_0\overline{A_1},\\ T_1&=A_1\overline{A_2},\\ T_2&=A_2\overline{A_3},\\ T_3&=A_3\overline{A_4},\\ T_4&=A_4 \end{aligned}$$ を作れば、これはレベル 0 から 4 の one-hot 表現である。したがって白い箱の論理は $$S_2=T_4,$$ $$S_1=T_2+T_3,$$ $$S_0=T_1+T_3$$ とすればよい。すなわち $$S_2=A_4,\qquad S_1=A_2\overline{A_3}+A_3\overline{A_4},$$ $$S_0=A_1\overline{A_2}+A_3\overline{A_4}.$$

1. ラスターデータとは、空間を格子状のセルに分割し、各セルに標高、土地利用、反射強度などの値を持たせるデータである。属性データとは、空間上の対象に付随する性質、例えば人口、用途、名称、面積、所有者などを表すデータである。混合画素問題とは、1 つの画素の中に複数の地物や土地被覆が含まれるため、その画素値が単一対象を正確に表さなくなる問題である。

2. 空間データとは、位置や形状を持つデータであり、点、線、面、ラスタなどで表される。誤差は、測量値や座標値が真値からずれる量である。不確実性は、真値が一意に確定できないことや、分類、境界、測定時刻、解像度などに起因して解釈に幅が残ることを含む、より広い概念である。

3. GPS は人工衛星からの電波を用いて地球上の位置を求める測位システムである。緯度・経度は地球上の位置を角度で表す座標で、緯度は赤道から南北方向、経度は基準子午線から東西方向の角度である。世界測地系は、地球全体に整合する測地基準であり、異なる国や地域の地理情報を同じ基準で扱うために重要である。

1. 距離抵抗または距離減衰とは、二地点間の距離が大きくなるほど、人や物、情報、サービス利用などの相互作用が弱くなる傾向である。例として、店舗への来店頻度は自宅から遠くなるほど下がりやすい。また、通勤・通学、人口移動、医療施設の利用、対面交流も移動時間や費用の増加により距離抵抗を受ける。

2. 空間相互作用モデルは、地域間の流動量や交流量を、発地・着地の規模と距離抵抗で説明するモデルである。代表例である重力モデルでは、地域 $i$ と $j$ の相互作用 $T_{ij}$ を $$T_{ij}=k\frac{P_i^\alpha P_j^\beta}{d_{ij}^{\gamma}}$$ のように表す。ここで $P_i,P_j$ は人口、雇用、商業規模などの吸引力、$d_{ij}$ は距離や時間、費用を表す。距離抵抗は $d_{ij}^{-\gamma}$ や $\exp(-\gamma d_{ij})$ の形で入れられる。実務では、買い物行動、交通需要、通勤流動、都市間人口移動などの推定に使われる。

3. 物理的距離は地図上の直線距離や道路距離として測れるが、人間が感じる認知距離はそれだけでは決まらない。移動時間、費用、乗換回数、坂道、混雑、治安、土地勘、心理的な境界、行政区分などが認知距離を伸ばしたり縮めたりする。例えば同じ 5 km でも、鉄道で直結していれば近く感じられ、乗換が多い場合や道が分かりにくい場合は遠く感じられる。したがって、人間行動を扱う空間分析では、物理距離だけでなく時間距離、費用距離、ネットワーク距離、心理的障壁を組み込む必要がある。