東大 学際情報学府 学際情報学専攻 先端表現情報学コース 専門科目 2015年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

フーリエ変換を $$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-jux}\,dx,\qquad f(x)=\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)$$ とする。ここで $$f'(x)=-\frac{x}{\sigma^2}f(x) \quad\Longleftrightarrow\quad xf(x)=-\sigma^2 f'(x)$$ である。したがって $$\frac{dF}{du} =\int_{-\infty}^{\infty} f(x)(-jx)e^{-jux}\,dx =j\sigma^2\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)e^{-jux}\,dx .$$ 部分積分を用いると、ガウス関数は無限遠で0に収束するので境界項は消え、 $$\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)e^{-jux}\,dx =\left[f(x)e^{-jux}\right]_{-\infty}^{\infty} +ju\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-jux}\,dx =juF(u)$$ となる。よって $$\frac{dF}{du}=-\sigma^2uF(u)$$ が示された。

この微分方程式は、$F(u)\neq 0$ の範囲で $$\frac{1}{F}\frac{dF}{du}=-\sigma^2u$$ と書ける。積分して $$\log F(u)=-\frac{\sigma^2u^2}{2}+C_0$$ を得るから、一般解は $$F(u)=C\exp\left(-\frac{\sigma^2u^2}{2}\right)$$ である。

最後に $u=0$ を代入すると $$F(0)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\sqrt{2\pi}\sigma$$ であるから $C=\sqrt{2\pi}\sigma$ である。

1. 整数の一様乱数の例として線形合同法を挙げる。内部状態 $X_k$ に対し $$X_{k+1}=(aX_k+c)\bmod m$$ を計算し、$X_{k+1}$ を整数乱数として用いる。区間 $0,\ldots,N-1$ にしたい場合は、周期や偏りを確認した上で剰余を取るか、偏りが出る余りを捨てる棄却法を用いる。

2. サイコロの目は、$U=\mathrm{random}()$ として $$D=\lfloor 6U\rfloor+1$$ により生成できる。$U\in[0,1)$ なので $6U\in[0,6)$ であり、床関数により $0,\ldots,5$ の6区間に等分される。最後に1を加えることで $1,\ldots,6$ の目になる。

3. 指数分布乱数は逆関数法で生成できる。指数分布の分布関数は $$F(t)=1-e^{-\lambda t}\qquad (t\geq 0)$$ であるから、$U=\mathrm{random}()$ に対し $$T=F^{-1}(U)=-\frac{1}{\lambda}\log(1-U)$$ とすればよい。$1-U$ も $[0,1)$ 上の一様乱数と同等に扱えるため、実装では $-\log U/\lambda$ と書くことも多い。

4. 標準正規分布乱数はBox--Muller法で生成できる。独立な一様乱数 $U_1,U_2\in(0,1)$ を用意し、 $$Z_1=\sqrt{-2\log U_1}\cos(2\pi U_2),\qquad Z_2=\sqrt{-2\log U_1}\sin(2\pi U_2)$$ とする。この $Z_1,Z_2$ は平均0、分散1の独立な正規乱数である。

1. 空欄には、例えば次の処理を書く。

   $$\text{交差点のうち視点に最も近い点を可視点として選ぶ}$$

   レイが複数の物体と交差する場合、画素に見えるのはレイの始点から見て最小の正のパラメータ $t$ を持つ交点である。したがって、すべての交差候補を調べ、$t>0$ かつ最小のものを選んでから、その点の色を計算する。

2. 球の中心を $S$、半径を $r$、レイを $$P(t)=E+Vt,\qquad \|V\|=1$$ とする。交差判定は $$\|P(t)-S\|^2=r^2$$ を満たす $t$ が存在するかを調べればよい。$D=E-S$ とおくと $$\|D+Vt\|^2=r^2$$ より $$t^2+2(V\cdot D)t+\|D\|^2-r^2=0$$ を得る。判別式 $$\Delta=(V\cdot D)^2-\left(\|D\|^2-r^2\right)$$ が負なら交差しない。$\Delta\geq 0$ なら $$t=-(V\cdot D)\pm\sqrt{\Delta}$$ が交点候補であり、このうち $t>0$ で最小のものを可視点候補とする。交点座標は $P=E+Vt$ で与えられる。

3. 多数のポリゴンを含む複雑形状では、全ポリゴンと全レイを総当たりで交差判定すると計算量が大きい。高速化には、まず物体やポリゴン群をバウンディングボリュームで階層化する。レイが外側の箱や球と交差しなければ、その内部の多数の三角形判定をまとめて省略できる。さらにBVH、kd-tree、octreeなどで空間を分割し、レイが通過する領域だけをたどる。形状を階層的に枝刈りすることで、平均的な交差判定回数を大幅に減らせる。

1. カルノーサイクルは、理想化すれば次の4過程からなる。

   1. 温度 $T_H$ の高温熱源と接した等温膨張。作動気体は熱量 $Q_H$ を受け取り、外部へ仕事をする。

   2. 熱源から切り離した断熱膨張。熱の出入りはなく、気体は仕事をしながら温度が $T_H$ から $T_L$ へ下がる。

   3. 温度 $T_L$ の低温熱源と接した等温圧縮。外部から仕事を受け、熱量 $Q_L$ を低温熱源へ捨てる。

   4. 熱源から切り離した断熱圧縮。熱の出入りはなく、外部から仕事を受けて温度が $T_L$ から $T_H$ へ戻る。

2. $p$--$V$ 線図では、準静的過程の仕事は $$W=\oint p\,dV$$ で表される。熱機関として時計回りに一周する場合、外部へ取り出される正味の仕事は閉曲線で囲まれる面積に等しい。

3. 熱効率は $$\eta=\frac{W}{Q_H}=1-\frac{Q_L}{Q_H}$$ である。可逆サイクルでは全サイクルのエントロピー変化が0なので、等温過程で $$\frac{Q_H}{T_H}=\frac{Q_L}{T_L}$$ が成り立つ。したがって $$\frac{Q_L}{Q_H}=\frac{T_L}{T_H}$$ であり、 $$\eta=1-\frac{T_L}{T_H}$$ となる。

4. 第2種永久機関は、単一熱源から受け取った熱をすべて仕事に変換し、他に変化を残さない装置である。これは低温熱源へ熱を捨てずに $\eta=1$ を実現することを意味する。しかし熱力学第二法則により、循環機関が単一熱源から得た熱を完全に仕事へ変換することはできない。したがって第2種永久機関は実現不可能である。

1. 空欄は、典型的には次のように答える。 $$\text{(a) 地震計または地震観測網,\quad (b) P,\quad (c) 震源と規模,\quad (d) S}$$ すなわち、各地の観測点で先に到達するP波を検知し、地震の震源位置と規模を推定して、主要動であるS波の到達時刻や揺れの大きさを予測する。

2. P波は縦波で伝播速度が速く、一般に揺れのエネルギーはS波より小さい。S波は横波でP波より遅いが、振幅が大きく被害に結びつきやすい主要動をもたらす。この速度差を利用することで、S波到達前に短い猶予時間を作る。

3. 技術的限界の例として、震源に近い地域ではP波検知からS波到達までの時間が極めて短く、警報が間に合わないことがある。また、初期の少数観測点だけで震源や規模を推定するため、地震の規模が大きい場合や複数地震が近接して起きる場合には推定誤差が大きくなり得る。

4. 誤報の原因として、単独観測点のノイズ、機器異常、または複数の地震波の取り違えが考えられる。初期段階では利用できるデータが少ないため、局所的な大振幅や別の事象を大地震のP波として扱うと、震源やマグニチュードを過大推定する可能性がある。

5. 観測点ごとの加速度振幅をリアルタイムに監視すると、実際に広い範囲で強い揺れが増大しているかを直接確認できる。震源推定だけに頼らず揺れそのものの空間分布と時間変化を照合できるため、孤立した異常値や誤った震源推定による誤報を抑えやすい。