東大 学際情報学府 学際情報学専攻 先端表現情報学コース 専門科目 2014年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

$$\int \sin^3 x\,dx =\int \sin x(1-\cos^2x)\,dx .$$ $u=\cos x$ とおくと $du=-\sin x\,dx$ なので $$\int \sin^3x\,dx =-\int (1-u^2)\,du =-u+\frac{u^3}{3}+C.$$ したがって $$\int \sin^3x\,dx=-\cos x+\frac{\cos^3x}{3}+C$$ である。

$$I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$$ とおく。$n\geq 2$ として $$I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}x\sin x\,dx$$ に部分積分を用いる。$u=\sin^{n-1}x,\ dv=\sin x\,dx$ とすれば $$du=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx,\qquad v=-\cos x$$ であるから $$I_n=\left[-\sin^{n-1}x\cos x\right]_0^{\pi/2} +(n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx .$$ 境界項は0であり、$\cos^2x=1-\sin^2x$ より $$I_n=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n.$$ よって $$nI_n=(n-1)I_{n-2},\qquad I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$$ が示された。

基本値は $$I_0=\frac{\pi}{2},\qquad I_1=1$$ である。上の漸化式を繰り返すと $$I_{2m}=\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\frac{\pi}{2},\qquad I_{2m+1}=\frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}$$ を得る。ただし $m$ は非負整数であり、本問の $n\geq2$ に対しては偶奇に応じてこの式を用いればよい。

曲線は $$x=a\cos^3t,\qquad y=a\sin^3t\qquad (0\leq t<2\pi)$$ と媒介変数表示できる。このとき $$\frac{dx}{dt}=-3a\cos^2t\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=3a\sin^2t\cos t$$ より $$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} =3a|\sin t\cos t|.$$ したがって全長は $$L=4\int_0^{\pi/2}3a\sin t\cos t\,dt=6a.$$ 面積は対称性により第1象限の4倍として $$A=4\int_0^a y\,dx$$ を用いる。第1象限では $t$ を $0$ から $\pi/2$ へ動かすと $x$ が $a$ から0へ減るため、 $$A=4\int_0^{\pi/2} a\sin^3t\cdot 3a\cos^2t\sin t\,dt =12a^2\int_0^{\pi/2}\sin^4t\cos^2t\,dt =\frac{3\pi a^2}{8}.$$

3リットル容器内の水量を $x$、5リットル容器内の水量を $y$ とする。4リットルを得る手順の一例は $$(0,0)\to(0,5)\to(3,2)\to(0,2)\to(2,0)\to(2,5)\to(3,4)$$ である。最後の状態では5リットル容器に4リットルが残っている。

上の状態遷移は次のように表せる。 $$(0,0)\xrightarrow{\text{5Lを満たす}}(0,5) \xrightarrow{\text{5Lから3Lへ}}(3,2) \xrightarrow{\text{3Lを空に}}(0,2)$$ $$\xrightarrow{\text{5Lから3Lへ}}(2,0) \xrightarrow{\text{5Lを満たす}}(2,5) \xrightarrow{\text{5Lから3Lへ}}(3,4).$$

任意の操作後の状態では、少なくとも一方の容器が空であるか満杯である。満たす操作では一方が満杯、空にする操作では一方が空、移す操作では注ぐ側が空になるか受ける側が満杯になるからである。

したがって到達可能な状態は、長方形 $$0\leq x\leq m,\qquad 0\leq y\leq n$$ の境界上の格子点に限られる。境界格子点数は $$(n+1)+(n+1)+(m+1)+(m+1)-4=2(m+n)$$ である。よって可能な状態数は高々 $2(m+n)$ である。

$d=\gcd(m,n)$ とする。操作で作れる水量は常に $d$ の倍数である。初期状態は $(0,0)$ であり、満杯量 $m,n$ はどちらも $d$ の倍数、また水を移す操作でも全体量と満杯条件が $d$ の倍数で保たれるからである。

したがって境界上でも座標が $d$ の倍数である状態だけが到達可能であり、その個数は縮尺を $d$ で割った問題の境界点数 $$2\left(\frac{m}{d}+\frac{n}{d}\right) =\frac{2(m+n)}{d}$$ である。特に $d=1$、すなわち $m$ と $n$ が互いに素のとき、状態数は最大の $2(m+n)$ になる。

最少操作数の手順は、状態を頂点、1回の操作で移れる関係を辺とするグラフの幅優先探索で求められる。初期状態を $(0,0)$ とし、各状態から「どちらかを満たす」「どちらかを空にする」「一方から他方へ移す」の高々6通りの次状態を生成する。幅優先探索で初めて $x=i$ または $y=i$ を満たす状態に到達したとき、その経路が最少操作手順である。探索が尽きても到達しなければ不可能である。事前判定として、$i$ が $\gcd(m,n)$ の倍数でなければ不可能である。

濃淡変換の説明は次の通りである。

1. 低濃度側を黒、高濃度側を白に飽和させ、中間濃度だけを線形に伸ばす変換である。コントラスト強調、またはウィンドウ処理として説明できる。

2. 傾きが1より小さく、切片が正の線形変換である。暗部を持ち上げつつ、濃度範囲を狭めるためコントラストは低下する。

3. 上に凸の非線形変換である。暗い入力ほど大きく持ち上げられるため、暗部を明るくするガンマ補正に相当する。

4. 入力と出力を反転するネガポジ反転である。濃度 $s$ に対して $255-s$ を出力する。

1次元の移動平均フィルタは、窓内の係数が一定である。 $$h_{\mathrm{ma}}(k)=\frac{1}{7}\qquad (k=-3,-2,\ldots,3)$$ 一方、ガウシアンフィルタは中心で最大、中心から離れるほど滑らかに小さくなる。 $$h_{\mathrm{g}}(k)=C\exp\left(-\frac{k^2}{2\sigma^2}\right)$$ ただし $C$ は係数和を1にする正規化定数である。

高周波ノイズの低減では、一般にガウシアンフィルタの方が良い。移動平均は窓端で係数が急に切れるため周波数応答に副振動が出やすいが、ガウシアンは空間的にも周波数的にも滑らかで不要な高周波を抑えやすい。

メディアンフィルタは、注目画素の近傍画素値を並べ替え、その中央値を出力する非線形フィルタである。極端に大きい値や小さい値が少数混入しても中央値は影響を受けにくい。したがって、ごま塩ノイズやインパルス性ノイズの低減に有効で、エッジを平均化フィルタより保ちやすい。

係数配列は、行を上から $y+1,y,y-1$、列を左から $x-1,x,x+1$ と並べると次のようになる。 $$\text{(i)}\quad \begin{bmatrix} -1&0&1\\ -2&0&2\\ -1&0&1 \end{bmatrix},\qquad \text{(ii)}\quad \begin{bmatrix} 1&2&1\\ 0&0&0\\ -1&-2&-1 \end{bmatrix},$$ $$\text{(iii)}\quad \begin{bmatrix} -1&-1&-1\\ -1&8&-1\\ -1&-1&-1 \end{bmatrix}.$$ (i) は横方向微分なので縦エッジ、(ii) は縦方向微分なので横エッジ、(iii) は8近傍ラプラシアン型の二次微分である。提示された結果との対応は、典型的には $$\text{(i)}\to\text{(d)},\qquad \text{(ii)}\to\text{(b)},\qquad \text{(iii)}\to\text{(a)}$$ と判断できる。(c) は正負両側または勾配強度を併せて表示した結果に近く、上の3つのうち負値を0に切る条件とは対応しにくい。

変位を中立位置からの $x$ とする。ばねの復元力はフックの法則より $$F=-kx$$ であり、運動方程式は $$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx$$ である。したがって加速度は $$\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{k}{m}x$$ となり、変位に比例する。比例係数は $-k/m$、角振動数は $$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$$ であるから、周期は $$T=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ である。

初期条件を $x(0)=x_0,\ \dot{x}(0)=0$ とする。微分方程式 $$\ddot{x}+\omega_0^2x=0$$ の一般解は $x=A\cos\omega_0t+B\sin\omega_0t$ である。初期条件より $A=x_0,\ B=0$ なので $$x(t)=x_0\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\,t\right)$$ となる。

速度に比例する抵抗がある場合、運動方程式は $$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$$ である。特性方程式 $mr^2+cr+k=0$ の判別式が負、すなわち $$c^2<4mk$$ のとき根は複素数となり、振動しながら振幅が指数的に減少する減衰振動になる。この場合 $$x(t)=e^{-ct/(2m)}(A\cos\omega_dt+B\sin\omega_dt)$$ と書ける。

Q値は、振動の鋭さ、または1周期あたりに失われるエネルギーの小ささを表す量である。代表的には $$Q=2\pi\frac{\text{蓄えられているエネルギー}}{\text{1周期で失われるエネルギー}}$$ で定義される。弱い減衰では $$Q\simeq \frac{m\omega_0}{c}=\frac{\sqrt{mk}}{c}$$ であり、減衰係数 $c$ が大きいほどQ値は小さく、振動は早く収まる。

ショックアブソーバの例は自動車のオイルダンパである。ピストンが油を狭い流路に押し通すことで、速度に比例した抵抗力に近い力を発生させる。車体やばねに蓄えられた振動エネルギーは流体の粘性散逸により熱へ変換され、共振や跳ね返りが抑えられる。

1. $K<K_c$ では自由流に近く、車間が十分あるため各車は希望速度に近い速度で走行できる。密度が増えると交通量 $Q$ は増えるが、速度低下は比較的小さい。$K>K_c$ では渋滞流となり、車間が詰まって相互干渉が強く、密度が増えるほど速度と交通量が低下する。

2. $V_s=Q/K$ である。基本図を三角形型または山型と見れば、$V_s$ は密度 $K$ の増加とともに低下し、$Q$ に対しては自由流側で高速度、容量付近で中程度、渋滞流側で低速度となる。同じ $Q$ でも自由流側と渋滞流側の2つの速度があり得る。

サグ部では、下り坂から上り坂へ変化しても運転者が勾配変化を感じにくく、アクセル操作が遅れて速度が低下する。後続車がそれに反応してブレーキを踏むと、減速波が上流へ伝わり渋滞が発生する。トンネル入口では、暗さ、圧迫感、車線幅の心理的狭まりにより無意識の減速が起こり、交通容量が低下してボトルネックになりやすい。

1. TDMは交通需要マネジメントであり、道路供給を増やすだけでなく、需要の時間、経路、交通手段を調整して混雑を緩和する考え方である。時差出勤、公共交通利用促進、ロードプライシング、相乗り促進などが含まれる。

2. ETCは電子料金収受システムであり、車両と料金所の無線通信により停止せず通行料金を収受する仕組みである。料金所での停止、発進、現金授受を減らすため、渋滞緩和、所要時間短縮、排出ガス削減に寄与する。