東大 学際情報学府 学際情報学専攻 先端表現情報学コース 専門科目 2020年度 院試 過去問 解答例・解説（全7問）

連立一次方程式を消去する。第1式を基準にして整理すると $$y-z=15,\qquad -y+z=-15$$ が得られるので、独立な条件は $y=z+15$ である。これを第1式に戻すと $$3x-2(z+15)+z=4,\qquad 7x-5(z+15)+2z=5$$ すなわち $$3x-z=34,\qquad 7x-3z=80$$ である。前者から $z=3x-34$、後者へ代入して $7x-9x+102=80$ より $x=11$。したがって $z=-1,\ y=14$。

行列 $$A=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{pmatrix}$$ の固有値は $3,3,-3$ である。固有値 $3$ の固有空間は $x=y+z$ で表され、 互いに直交する固有ベクトルとして $$u_1=\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},\qquad u_2=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$$ を取れる。固有値 $-3$ には $$u_3=\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$$ を取る。よって $$P=\begin{pmatrix} 2/\sqrt6&0&-1/\sqrt3\\ 1/\sqrt6&1/\sqrt2&1/\sqrt3\\ 1/\sqrt6&-1/\sqrt2&1/\sqrt3 \end{pmatrix}$$ とすれば $P$ は直交行列であり、 $$P^{\mathsf T}AP=\operatorname{diag}(3,3,-3)$$ である。

$s=\sin t,\ c=\cos t$ とおく。媒介変数表示から $$\frac{dx}{dt}=-5ac^4s,\qquad \frac{dy}{dt}=5as^4c$$ である。したがって、$\frac{dx}{dt}\ne0$ の点で $$\frac{dy}{dx} =\frac{dy/dt}{dx/dt} =-\frac{s^3}{c^3} =-\tan^3 t.$$ さらに $$\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{d}{dt}\left(-\tan^3t\right)\Big/\frac{dx}{dt} =\frac{-3\tan^2t\sec^2t}{-5ac^4s} =\frac{3\sin t}{5a\cos^8t}.$$

1. 部分分数分解 $$\frac{1}{x^2+9x+20} =\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}$$ より $$\frac{d^n}{dx^n}\frac{1}{x^2+9x+20} =(-1)^n n!\left\{\frac{1}{(x+4)^{n+1}} -\frac{1}{(x+5)^{n+1}}\right\}.$$

2. ライプニッツの公式を使う。$0\le k\le \min(3,n)$ に対し $$\frac{d^k}{dx^k}x^3=\frac{3!}{(3-k)!}x^{3-k},\qquad \frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}\cos 3x =3^{n-k}\cos\left(3x+\frac{(n-k)\pi}{2}\right).$$ よって $$\frac{d^n}{dx^n}\{x^3\cos 3x\} =\sum_{k=0}^{\min(3,n)} \binom{n}{k}\frac{3!}{(3-k)!}x^{3-k}3^{n-k} \cos\left(3x+\frac{(n-k)\pi}{2}\right).$$

1. $y' +4xy=-4x$ は $y=-1$ を特解にもつ。$u=y+1$ とおくと $u'+4xu=0$ なので $$y=C e^{-2x^2}-1.$$

2. $v=y'$ とおけば $v'=2v$。したがって $v=C_1e^{2x}$ であり、 $$y=C_2e^{2x}+C_3.$$

3. Cauchy-Euler型として $y=x^\lambda$ を代入すると $$\lambda(\lambda-1)+3\lambda-8 =\lambda^2+2\lambda-8 =(\lambda-2)(\lambda+4)=0.$$ よって $$y=C_4x^2+C_5x^{-4}$$ である。ただし、解は $x>0$ または $x<0$ の区間で考える。