東京科学大 物質理工学院 材料系 材料系 B日程筆答専門試験 2025年度 院試 解答例・解説

熱方程式

境界条件 $u(0,t)=u(L,t)=0$ から空間固有関数は $\sin(n\pi x/L)$ に限られる。初期条件が第1固有関数そのものなので，Fourier 係数は $A_1=1$，それ以外は 0 である。

典型ミス

$A^{-1}BA=C$ は $B$ と $C$ が相似であることを表す。したがって固有値は共通であり，$C$ の Jordan ブロックから $C^n$ の非対角成分が $n4^{n-1}$ になる。

摩擦の向き

接触点の速度 $v-R\omega$ の符号を先に調べると，摩擦の向きが決まる。撃力が重心より高い位置に入るため，初期には回転が強すぎ，摩擦は並進を助け回転を弱める。

試験で書くべきポイント

並進方程式，重心まわりの回転方程式，純転がり条件 $v=R\omega$ の三つを別々に書く。慣性モーメント $2mR^2/5$ を入れ忘れると係数が全てずれる。

混合エントロピーの微分

全物質量が $n(1+\alpha)$ に変わるため，単に「二成分が等モルで最大」とはならない。物質量を入れた $\Delta S_{\mathrm{mix}}=-R\sum_i n_i\ln x_i$ を直接微分するのが安全である。

典型ミス

分圧で $1+\alpha$ を落とすと $K_p$ の分母が誤る。ミカエリス・メンテン式では $[\mathrm E]$ と $[\mathrm{ES}]$ の和が一定であり，$[\mathrm E]$ を $[\mathrm E]_0$ にそのまま置き換えない。

HCl 付加の分岐

求電子付加で最初にできる二級カルボカチオンは，捕捉されれば $C$，ヒドリド移動で第三級カルボカチオンに変われば $D$ になる。$D$ の条件は，第三級炭素をもつことを確認するための手掛かりである。

典型ミス

ヒドロホウ素化を Markovnikov 付加として扱うと (1)-1 が逆になる。IR ではカルボン酸の広い O--H と C=O を別々に読み，C=O 吸収を三重結合としない。

ステレオ投影の検算

図の記号だけに頼らず，面法線との内積で垂直条件を確認すると読み違いを減らせる。すべり系の計算でも，面法線・すべり方向・引張方向をすべて単位ベクトル化してから Schmid 因子を作る。

典型ミス

$\{111\}\langle110\rangle$ の 12 系と Taylor 条件の 5 系を混同しやすい。分解せん断応力では，面法線との角 $\phi$ とすべり方向との角 $\lambda$ の両方が必要である。

岩塩型の数え方

面心立方の格子点数は 4，八面体空隙も単位胞あたり 4 である。密度計算では nm を cm に直してから体積を三乗する。

典型ミス

半径比 $0.414$ は八面体空隙の下限であり，四面体空隙の値と取り違えない。TiO の金属性は単なる「Ti が金属元素だから」ではなく，Ti 3d バンドの部分占有で説明する。

HDPE と LDPE

HDPE は分岐が少ないため密に充填して結晶化しやすい。透明性は結晶散乱のため下がり，強度・融点は上がる。

典型ミス

フェノール樹脂では「酸性=ノボラック，塩基性=レゾール」を構造差とセットで書く。開始剤は，過酸化物・アゾ化合物をラジカル，有機金属・強塩基をアニオン，酸/Lewis 酸をカチオンに分ける。

磁場方向の決め方

正電荷なので $\mathbf v\times\mathbf B$ がそのまま力の向きである。負電荷の場合は向きが反転するため，電荷の符号を必ず確認する。

典型ミス

加速は「ギャップ通過ごと」ではなく 1 周あたり 2 回である。$E_n$ を半径から求める場合，$E=q^2B^2r^2/(2m)$ の $q^2$ と $B^2$ を落とさない。

符号規約

この問題では「外界からなされた仕事」が正である。通常の「気体がした仕事」を正にする約束と逆なので，断熱圧縮の仕事は正になる。

典型ミス

COP の温度は摂氏ではなく絶対温度で入れる。$35-25=10$ だけを見て $25/10$ としない。

指数の符号

$e^{-2i\phi}$ は $m=-2$ の角運動量固有関数である。$+2\hbar$ としないよう，$-i$ と $-2i$ の積を丁寧に計算する。

典型ミス

障壁内の波数は実数ではなく減衰定数 $\alpha$ である。透過率は振幅 $T$ ではなく確率流の比であり，本問では左右のポテンシャルが同じなので $|T|^2$ と一致する。

1,2-付加と1,4-付加

有機リチウムは硬い求核剤としてカルボニル炭素へ 1,2-付加しやすい。一方，Gilman 試薬は共役エノンの $\beta$ 位へ 1,4-付加し，プロトン化後に置換シクロヘキサノンを与える。

典型ミス

シクロペンタジエンは $sp^3$ 炭素で共役が途切れるため芳香族ではない。Friedel--Crafts では配向性だけでなく，反応条件下で基質が Lewis 酸と錯形成して失活するかも見る。

てこの規則

求めたい相の分率は反対側の線分を分子に置く。全体組成 $g$ が $\alpha$ 側の $c$ に近いほど $\alpha$ 相が多くなるので，$f_\alpha=kg/ck$ は直感とも合う。

典型ミス

共析反応は全て固相の反応であり，共晶反応と書かない。相律は本問が一定圧力下であるため $+2$ ではなく $+1$ を用いる。

Ellingham 図の読み方

還元剤が酸素を奪えるかは，還元剤の酸化反応の $\Delta G^\circ$ 線が金属酸化物生成線より下にあるかで判断する。直線の傾きは $-\Delta S^\circ$ なので，CO 生成のように気体分子数が増える反応は負の傾きになる。

典型ミス

酸化還元電位は還元電位として与えられているため，酸化側に使うときは符号を反転する。Ellingham 図の計算では J と kJ をそろえてから温度を求める。