シュレディンガー方程式と井戸型ポテンシャル無限井戸・有限井戸・トンネル効果の解き方

シュレディンガー方程式 $i\hbar\,\partial\Psi/\partial t = \hat H\Psi$ は波動関数 $\Psi$ の時間変化を決める。ポテンシャルが時間によらなければ $\Psi = \psi(x)e^{-iEt/\hbar}$ と変数分離でき、エネルギー固有値問題 $\hat H\psi = E\psi$ に帰着する。幅 $L$ の無限に深い井戸では $\psi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ 、 $E_n = n^2\pi^2\hbar^2/(2mL^2)$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）となる。有限の井戸やポテンシャル障壁では、領域ごとに解を書き、境界で $\psi$ と $\psi'$ をつなぐ。

量子力学の第1単元（全4単元）。

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波動関数と時間に依存するシュレディンガー方程式

定義

波動関数とボルンの確率解釈

1次元の粒子の状態を複素数値の波動関数 $\Psi(x, t)$ で表す。時刻 $t$ に粒子が区間 $[x, x + dx]$ に見つかる確率は $|\Psi(x, t)|^2\,dx$ で、

\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x, t)|^2\,dx = 1

と規格化する。 $\Psi$ に絶対値 $1$ の定数 $e^{i\alpha}$ を掛けたものも同じ状態を表す。

定理・法則

時間に依存するシュレディンガー方程式

条件

質量 $m$ の粒子が、1次元のポテンシャル $V(x, t)$ の中を非相対論的に運動する。

主張

i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V(x, t)\Psi

要点

$V$ が実数なら確率の保存則 $\partial_t|\Psi|^2 + \partial_xj = 0$ （ $j = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}(\Psi^*\partial_x\Psi)$ ）が成り立ち、規格化は時間がたっても保たれる。

定常状態と境界条件

定理・法則

変数分離と定常状態

条件

$V = V(x)$ が時間によらず、固有関数 $\psi_n$ が正規直交完全系をなす。

主張

$\Psi(x, t) = \psi(x)e^{-iEt/\hbar}$ の形の解は、 $\psi$ が時間に依存しないシュレディンガー方程式

-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V(x)\psi = E\psi

を満たすときに得られ、 $|\Psi|^2 = |\psi|^2$ は時間によらない（定常状態）。一般の解は固有関数の重ね合わせ $\Psi = \sum_nc_n\psi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}$ で、 $c_n = \int\psi_n^*\Psi(x, 0)\,dx$ である。

要点

$|c_n|^2$ はエネルギーを測って $E_n$ を得る確率である。異なるエネルギーの重ね合わせでは、 $|\Psi|^2$ が角振動数 $(E_n - E_m)/\hbar$ で振動する。

井戸型ポテンシャルを解くときの境界条件は次の3つである。

$V$ が有限なら、 $V$ が不連続な点でも $\psi$ と $\psi'$ は連続である。方程式を不連続点の前後で積分すると、 $\psi'$ の跳びが $0$ になる。
$V = \infty$ の領域では $\psi = 0$ で、壁の上で $\psi$ は連続だが $\psi'$ は跳んでよい。
束縛状態は $|x| \to \infty$ で $\psi \to 0$ となり規格化できる。このためエネルギーはとびとびの値になる。

無限に深い井戸型ポテンシャル

$0 < x < L$ で $V = 0$ 、それ以外で $V = \infty$ とする。井戸の中では $\psi'' = -k^2\psi$ （ $k = \sqrt{2mE}/\hbar$ ）で、一般解は $A\sin kx + B\cos kx$ 。 $\psi(0) = 0$ から $B = 0$ 、 $\psi(L) = 0$ から $kL = n\pi$ となる。 $n = 0$ は $\psi = 0$ で状態を表さず、負の $n$ は符号が違うだけの同じ状態なので、 $n = 1, 2, 3, \dots$ をとる。

無限井戸の解

固有関数: $\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L} \quad (0 < x < L)$
井戸の外では $0$ 。 $\psi_n$ は井戸の内部に $n - 1$ 個の節をもつ。
エネルギー固有値: $E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} = \frac{n^2h^2}{8mL^2}$
正規直交性: $\int_0^L\psi_m(x)\psi_n(x)\,dx = \delta_{mn}$

量子数 n1

Eₙ = n²E₁ = 1E₁（E₁ = π²ħ²/2mL²）。井戸の内部の節の数 0

量子数 $n$ を変えると、固有関数 $\psi_n(x)$ と確率密度 $|\psi_n(x)|^2$ のグラフが変わる。 $n$ が増えると井戸の内部の節が $n - 1$ 個に増え、エネルギー $E_n \propto n^2$ が上がる。 $n$ が大きいと $|\psi_n|^2$ は細かく振動し、平均すると井戸の中で一様な古典的な分布に近づく。

計算例

位置の期待値と不確かさ

無限井戸の状態 $\psi_n$ で $\langle x\rangle$ 、 $\langle x^2\rangle$ 、 $\Delta x$ を求めよ。

解答

$|\psi_n|^2$ は $x = L/2$ について対称なので $\langle x\rangle = L/2$ 。

\langle x^2\rangle = \frac{2}{L}\int_0^Lx^2\sin^2\frac{n\pi x}{L}\,dx = L^2\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2n^2\pi^2}\right)

\Delta x = \sqrt{\langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2} = L\sqrt{\frac{1}{12} - \frac{1}{2n^2\pi^2}}

検算

$n \to \infty$ で $\Delta x \to L/\sqrt{12}$ となり、区間 $[0, L]$ の一様分布の標準偏差と一致する。 $\langle p\rangle = 0$ 、 $\langle p^2\rangle = 2mE_n = (n\pi\hbar/L)^2$ なので、 $n = 1$ では $\Delta x\,\Delta p = \hbar\sqrt{\pi^2/12 - 1/2} \approx 0.568\hbar$ となり、不確定性関係 $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ を満たす。

計算例

無限井戸に閉じ込めた電子のエネルギー

幅 $L = 1.0\ \mathrm{nm}$ の無限井戸に閉じ込めた電子の $E_1$ と、 $n = 2 \to 1$ の遷移で出る光の波長を求めよ。 $m = 9.109 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$ 、 $\hbar = 1.0546 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$ 、 $1\ \mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$ とする。

解答

E_1 = \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \approx 6.03 \times 10^{-20}\ \mathrm{J} \approx 0.376\ \mathrm{eV}

$E_2 - E_1 = 3E_1 \approx 1.13\ \mathrm{eV}$ なので、 $\lambda = hc/(3E_1) \approx 1.10 \times 10^3\ \mathrm{nm}$ （近赤外）。

検算

$E_n \propto 1/L^2$ なので、幅を2倍にすると $E_1$ は $1/4$ の約 $0.094\ \mathrm{eV}$ になる。 $hc \approx 1240\ \mathrm{eV\,nm}$ を使うと $\lambda \approx 1240/1.128 \approx 1099\ \mathrm{nm}$ で、同じ値になる。

有限の井戸の束縛状態とトンネル効果

$|x| < a$ で $V = -V_0$ （ $V_0 > 0$ ）、 $|x| > a$ で $V = 0$ の井戸で、 $-V_0 < E < 0$ の束縛状態を考える。 $k = \sqrt{2m(E + V_0)}/\hbar$ 、 $\kappa = \sqrt{-2mE}/\hbar$ とおくと、井戸の中の解は $\cos kx$ または $\sin kx$ 、外の解は $e^{-\kappa|x|}$ である。 $x = a$ で $\psi'/\psi$ が連続になる条件から、次の式が出る。

有限の井戸と障壁の公式

偶の解の条件: $\kappa = k\tan ka$
奇の解の条件: $\kappa = -k\cot ka$
円の条件と束縛状態の数: $(ka)^2 + (\kappa a)^2 = z_0^2, \qquad z_0 = \frac{a\sqrt{2mV_0}}{\hbar}, \qquad N_{\text{束縛}} = \left\lceil\frac{2z_0}{\pi}\right\rceil$
$\lceil\ \rceil$ は切り上げ。 $z_0$ がどれだけ小さくても偶の束縛状態が1つあり、1次元の対称な井戸には必ず束縛状態がある。
矩形障壁の透過率: $T = \left[1 + \frac{V_0^2\sinh^2(\kappa b)}{4E(V_0 - E)}\right]^{-1}, \qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}$
高さ $V_0$ 、幅 $b$ の障壁に $0 < E < V_0$ の粒子が入射する場合。 $\kappa b \gg 1$ なら $T \approx \frac{16E(V_0 - E)}{V_0^2}e^{-2\kappa b}$ 。

計算例

有限の井戸の束縛状態の数

$z_0 = 4$ の有限の井戸にある束縛状態の数と、それぞれの偶奇を求めよ。

解答

$\xi = ka$ 、 $\eta = \kappa a$ とおくと、束縛状態は円 $\xi^2 + \eta^2 = 16$ （ $\eta > 0$ ）と曲線 $\eta = \xi\tan\xi$ （偶）または $\eta = -\xi\cot\xi$ （奇）の交点で与えられる。 $\xi$ は $0 < \xi < 4$ を動く。

偶： $\xi\tan\xi$ が正になる $0 < \xi < \pi/2$ と $\pi < \xi < 4$ に1つずつ交点がある。
奇： $-\xi\cot\xi$ が正になる $\pi/2 < \xi < \pi$ に1つ交点がある。

したがって束縛状態は3つで、エネルギーの低い順に偶・奇・偶である。数値解は $\xi \approx 1.25, 2.47, 3.60$ 。

検算

$\lceil 2z_0/\pi\rceil = \lceil 2.55\rceil = 3$ と一致する。 $\xi = ka$ が大きいほどエネルギーが高く、無限井戸と同じく偶と奇が交互に並ぶ。 $V_0 \to \infty$ では $\xi \to n\pi/2$ となり、幅 $2a$ の無限井戸の $k = n\pi/(2a)$ に戻る。

計算例

矩形障壁のトンネル効果

$E = 1.0\ \mathrm{eV}$ の電子が、高さ $V_0 = 2.0\ \mathrm{eV}$ 、幅 $b = 0.50\ \mathrm{nm}$ の矩形障壁に入射する。透過率を求めよ。定数は上の例と同じ値を使う。

解答

$\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar \approx 5.12 \times 10^9\ \mathrm{m^{-1}}$ 、 $\kappa b \approx 2.56$ 、 $\sinh(2.56) \approx 6.44$ なので

T = \left[1 + \frac{2.0^2 \times 6.44^2}{4 \times 1.0 \times 1.0}\right]^{-1} \approx 0.024

検算

近似式 $\frac{16E(V_0 - E)}{V_0^2}e^{-2\kappa b} = 4e^{-5.12} \approx 0.024$ とほぼ一致する。古典力学では $E < V_0$ の粒子は障壁を越えられず $T = 0$ である。

井戸型ポテンシャルでよくある誤り

1
無限井戸の基底状態を $n = 0$ とする。 $n = 0$ では $\psi = 0$ となり規格化できない。基底状態は $n = 1$ で、零点エネルギー $E_1 > 0$ をもつ。
2
無限井戸の壁で $\psi'$ も連続だとして解を探す。 $V = \infty$ の壁では $\psi$ の連続だけを課し、 $\psi'$ の連続は $V$ が有限な点だけで課す。
3
井戸を $-L/2 < x < L/2$ にとった問題に $\sin(n\pi x/L)$ をそのまま使う。原点を中心にとると、 $n$ が奇数で $\sqrt{2/L}\cos(n\pi x/L)$ 、偶数で $\sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ になる。エネルギー固有値は同じである。
4
定常状態の重ね合わせでも $|\Psi|^2$ が時間によらないとする。異なるエネルギーの重ね合わせでは、交差項が $\cos((E_2 - E_1)t/\hbar)$ のように振動する。
5
透過率を $e^{-\kappa b}$ に比例するとする。透過率は確率の比なので振幅の2乗で決まり、厚い障壁では $e^{-2\kappa b}$ に比例する。