量子調和振動子生成消滅演算子・エネルギー準位・エルミート多項式

$\psi_0'' = (4\alpha^2x^2 - 2\alpha)\psi_0$ なので

右辺が $E\psi_0$ になるには $x^2$ の係数が $0$、つまり $\alpha = m\omega/2\hbar$ であればよく、$E_0 = \hbar^2\alpha/m = \hbar\omega/2$。規格化は $C^2\int e^{-2\alpha x^2}dx = C^2\sqrt{\pi/(2\alpha)} = 1$ から $C = (m\omega/\pi\hbar)^{1/4}$。

$E_0 = \hbar\omega/2$ は $E_n$ の式の $n = 0$ と一致する。$\langle x^2\rangle = 1/(4\alpha) = \hbar/(2m\omega)$ で、はしご演算子で求めた期待値の $n = 0$ とも一致する。

座標表示では $\hat a^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi - \frac{d}{d\xi}\right)$。$e^{-\xi^2/2}$ に作用させると $\frac{1}{\sqrt{2}}(\xi + \xi)e^{-\xi^2/2} = \sqrt{2}\,\xi e^{-\xi^2/2}$ なので

$\psi_0\psi_1$ は奇関数なので $\int\psi_0\psi_1\,dx = 0$。

$H_1(\xi) = 2\xi$ を一般の式に入れると $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2\xi = \sqrt{2}\,\xi$ で一致する。$\hat a^\dagger$ の係数 $\sqrt{0 + 1} = 1$ から、$\psi_0$ が規格化されていれば $\psi_1$ も規格化されている。

$\Psi(t) = (\psi_0e^{-i\omega t/2} + \psi_1e^{-3i\omega t/2})/\sqrt{2}$。$\hat x$ の行列要素は $\langle 0|\hat x|1\rangle = \langle 1|\hat x|0\rangle = \sqrt{\hbar/2m\omega}$ で、対角要素は $0$ なので

$\langle x\rangle$ は古典的な振動子と同じ角振動数 $\omega$ で振動し、エーレンフェストの定理 $\frac{d^2}{dt^2}\langle x\rangle = -\omega^2\langle x\rangle$ を満たす。$t = 0$ の値 $\sqrt{\hbar/2m\omega}$ は $\int x\,\psi_0\psi_1\,dx$ を直接計算しても得られる。