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摂動論1次・2次のエネルギー補正と縮退のある場合

摂動論は、解ける系のハミルトニアン H^0\hat H_0 に小さな項 V^\hat V を加えた H^=H^0+V^\hat H = \hat H_0 + \hat V の固有値を、V^\hat V のべきで近似する方法である。縮退のない準位 En(0)E_n^{(0)} の1次補正は期待値 ⟨n∣V^∣n⟩\langle n|\hat V|n\rangle、2次補正は ∑k≠n∣⟨k∣V^∣n⟩∣2/(En(0)−Ek(0))\sum_{k \neq n}|\langle k|\hat V|n\rangle|^2/(E_n^{(0)} - E_k^{(0)}) になる。縮退がある場合は、縮退した状態の空間で V^\hat V の行列を対角化して1次補正を求める。

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摂動展開の考え方

H^0∣n⟩=En(0)∣n⟩\hat H_0|n\rangle = E_n^{(0)}|n\rangle の解がすべて分かっているとし、H^=H^0+λV^\hat H = \hat H_0 + \lambda\hat V の固有値と固有状態を

En=En(0)+λEn(1)+λ2En(2)+⋯ ,∣ψn⟩=∣n⟩+λ∣n(1)⟩+⋯E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2E_n^{(2)} + \cdots, \qquad |\psi_n\rangle = |n\rangle + \lambda|n^{(1)}\rangle + \cdots

と展開する。(H^0+λV^)∣ψn⟩=En∣ψn⟩(\hat H_0 + \lambda\hat V)|\psi_n\rangle = E_n|\psi_n\rangle の λ\lambda の同じべきの係数を比べ、左から ⟨k∣\langle k| を掛けると各次の補正が出る。最後に λ=1\lambda = 1 とおく。行列要素を Vkn=⟨k∣V^∣n⟩V_{kn} = \langle k|\hat V|n\rangle と書く。

縮退のない場合の1次・2次補正

定理・法則

縮退のない摂動論

条件

En(0)E_n^{(0)} は縮退していない。∣k⟩|k\rangle は H^0\hat H_0 の固有状態の正規直交完全系。すべての k≠nk \neq n で ∣Vkn∣≪∣En(0)−Ek(0)∣|V_{kn}| \ll |E_n^{(0)} - E_k^{(0)}|。

主張

En(1)=Vnn,En(2)=∑k≠n∣Vkn∣2En(0)−Ek(0)E_n^{(1)} = V_{nn}, \qquad E_n^{(2)} = \sum_{k \neq n}\frac{|V_{kn}|^2}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}}
∣ψn⟩≈∣n⟩+∑k≠nVknEn(0)−Ek(0)∣k⟩|\psi_n\rangle \approx |n\rangle + \sum_{k \neq n}\frac{V_{kn}}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}}|k\rangle

要点

基底状態の2次補正は、分母がすべて負なので 00 以下になる。準位の間隔に比べて VknV_{kn} が小さくないと低次で打ち切れず、近い準位があると補正が大きくなる。

計算例

一様な力を加えた調和振動子

H^=p^22m+12mω2x^2+Fx^\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat x^2 + F\hat x のエネルギーを摂動の2次まで求め、厳密解と比べよ。

解答

x^=ℏ/2mω (a^+a^†)\hat x = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger) なので Vnn=0V_{nn} = 0 で、1次補正は 00。00 でない非対角要素は Vn+1,n=Fℏ(n+1)/2mωV_{n+1, n} = F\sqrt{\hbar(n + 1)/2m\omega} と Vn−1,n=Fℏn/2mωV_{n-1, n} = F\sqrt{\hbar n/2m\omega} だけで

En(2)=F2ℏ2mω(n+1−ℏω+nℏω)=−F22mω2E_n^{(2)} = \frac{F^2\hbar}{2m\omega}\left(\frac{n + 1}{-\hbar\omega} + \frac{n}{\hbar\omega}\right) = -\frac{F^2}{2m\omega^2}

検算

平方完成すると 12mω2(x+Fmω2)2−F22mω2\frac{1}{2}m\omega^2\left(x + \frac{F}{m\omega^2}\right)^2 - \frac{F^2}{2m\omega^2} となり、厳密解は En=ℏω(n+12)−F22mω2E_n = \hbar\omega(n + \frac{1}{2}) - \frac{F^2}{2m\omega^2}。2次の摂動が厳密解と一致するので、3次以上の補正はすべて 00 である。

計算例

非調和項の1次補正

調和振動子に V^=λx^4\hat V = \lambda\hat x^4 を加えたときの1次補正を求めよ。

解答

x^4=(ℏ2mω)2(a^+a^†)4\hat x^4 = \left(\frac{\hbar}{2m\omega}\right)^2(\hat a + \hat a^\dagger)^4 の対角要素は、a^\hat a と a^†\hat a^\dagger を2個ずつ含む6通りの並びから ⟨n∣(a^+a^†)4∣n⟩=6n2+6n+3\langle n|(\hat a + \hat a^\dagger)^4|n\rangle = 6n^2 + 6n + 3。よって

En(1)=3λ(ℏ2mω)2(2n2+2n+1)E_n^{(1)} = 3\lambda\left(\frac{\hbar}{2m\omega}\right)^2(2n^2 + 2n + 1)

検算

n=0n = 0 では 3λℏ2/(4m2ω2)3\lambda\hbar^2/(4m^2\omega^2) で、ガウス分布の4次モーメント ⟨x4⟩=3⟨x2⟩2\langle x^4\rangle = 3\langle x^2\rangle^2（⟨x2⟩=ℏ/2mω\langle x^2\rangle = \hbar/2m\omega）と一致する。

計算例

2準位系の2次摂動と厳密解

H^=(E1vvE2)\hat H = \begin{pmatrix}E_1 & v\\ v & E_2\end{pmatrix}（E1<E2E_1 < E_2、vv は実数で ∣v∣≪E2−E1|v| \ll E_2 - E_1）の固有値を摂動の2次まで求め、厳密解の展開と比べよ。

解答

対角部分を H^0\hat H_0、非対角部分を V^\hat V とすると V11=V22=0V_{11} = V_{22} = 0 で、2次までの固有値は E1+v2E1−E2E_1 + \frac{v^2}{E_1 - E_2} と E2+v2E2−E1E_2 + \frac{v^2}{E_2 - E_1}。

検算

厳密解 E1+E22∓(E2−E12)2+v2\frac{E_1 + E_2}{2} \mp \sqrt{\left(\frac{E_2 - E_1}{2}\right)^2 + v^2} を v2v^2 について1次まで展開すると同じ式になる。低い準位は下がり、高い準位は上がって間隔が広がる（準位反発）。

縮退がある場合の摂動論

定理・法則

縮退のある摂動論

条件

E(0)E^{(0)} が gg 重に縮退し、その固有空間の正規直交基底を ∣n1⟩,…,∣ng⟩|n_1\rangle, \dots, |n_g\rangle とする。他の準位とは十分離れている。

主張

1次補正 E(1)E^{(1)} は、g×gg \times g 行列 Wij=⟨ni∣V^∣nj⟩W_{ij} = \langle n_i|\hat V|n_j\rangle の固有値で与えられる。

det⁡(W−E(1)I)=0\det\left(W - E^{(1)}I\right) = 0

対応する固有ベクトルが、摂動を入れたときに連続につながる0次の状態を与える。

要点

縮退のない場合の式をそのまま使うと、分母 En(0)−Ek(0)E_n^{(0)} - E_k^{(0)} が 00 になって発散する。先に WW を対角化すれば、縮退した状態どうしの非対角要素が 00 になる。WW の固有値が重なると縮退は1次では解けず、2次以上を調べる。

計算例

2重縮退の分裂

H^0=E0I\hat H_0 = E_0I（2重縮退）に V^=(0ΔΔ0)\hat V = \begin{pmatrix}0 & \Delta\\ \Delta & 0\end{pmatrix}（Δ\Delta は実数）を加える。1次補正と0次の状態を求めよ。

解答

W=V^W = \hat V の固有値は ±Δ\pm\Delta で、固有ベクトルは 12(1,±1)T\frac{1}{\sqrt{2}}(1, \pm 1)^{\mathsf T}。準位は E0±ΔE_0 \pm \Delta に分裂する。

検算

この H^=H^0+V^\hat H = \hat H_0 + \hat V は厳密に対角化でき、固有値 E0±ΔE_0 \pm \Delta は1次の結果と一致する。縮退のない場合の式で Δ2/(E0−E0)\Delta^2/(E_0 - E_0) と計算すると発散する。

時間に依存する摂動と遷移確率

定理・法則

1次の遷移確率

条件

時刻 00 に H^0\hat H_0 の固有状態 ∣i⟩|i\rangle にあった系に摂動 V^(t)\hat V(t) を加える。遷移確率が 11 より十分小さい範囲で使う。

主張

時刻 tt に ∣f⟩|f\rangle（f≠if \neq i）に見つかる確率は、1次の近似で

Pi→f(t)=1ℏ2∣∫0t⟨f∣V^(t′)∣i⟩eiωfit′ dt′∣2,ωfi=Ef−EiℏP_{i \to f}(t) = \frac{1}{\hbar^2}\left|\int_0^t\langle f|\hat V(t')|i\rangle e^{i\omega_{fi}t'}\,dt'\right|^2, \qquad \omega_{fi} = \frac{E_f - E_i}{\hbar}

要点

一定の摂動を t=0t = 0 から加えると Pi→f=4∣Vfi∣2ℏ2sin⁡2(ωfit/2)ωfi2P_{i \to f} = \frac{4|V_{fi}|^2}{\hbar^2}\frac{\sin^2(\omega_{fi}t/2)}{\omega_{fi}^2} になる。終状態が連続的に分布する場合、tt が大きいと単位時間あたりの遷移確率が一定になり、フェルミの黄金律 Γ=2πℏ∣Vfi∣2ρ(Ef)\Gamma = \frac{2\pi}{\hbar}|V_{fi}|^2\rho(E_f)（ρ\rho は終状態の状態密度）が得られる。

摂動論でよくある誤り

  1. 1

    2次補正の分母を Ek(0)−En(0)E_k^{(0)} - E_n^{(0)} と逆にする。分母は（注目する準位）−（他の準位）で、基底状態の2次補正は負になる。

  2. 2

    縮退した準位に縮退のない場合の式を使う。分母が 00 になるので、縮退した部分空間で V^\hat V の行列を対角化してから使う。

  3. 3

    1次補正が 00 なので摂動の影響はないと結論する。Vnn=0V_{nn} = 0 でも2次補正は一般に 00 でない（一様な力を加えた調和振動子の例）。

  4. 4

    摂動が小さいかを V^\hat V の大きさだけで判断する。条件は行列要素と準位の間隔の比 ∣Vkn/(En(0)−Ek(0))∣≪1|V_{kn}/(E_n^{(0)} - E_k^{(0)})| \ll 1 で、準位が近いと小さな摂動でも展開が使えない。

  5. 5

    1次の状態の補正に k=nk = n の項を含める。和は k≠nk \neq n だけでとり、⟨n∣ψn⟩=1\langle n|\psi_n\rangle = 1 となるように規格化の約束を決めておく。

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