# 摂動論｜1次・2次のエネルギー補正と縮退のある場合

> 時間に依存しない摂動論の1次・2次のエネルギー補正と状態の補正、縮退がある場合の扱い、時間に依存する摂動の遷移確率とフェルミの黄金律を解説。調和振動子や2準位系の計算例を厳密解と比べます。

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- 最終更新: 2026-11-16
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摂動論は、解ける系のハミルトニアン $\hat H_0$ に小さな項 $\hat V$ を加えた $\hat H = \hat H_0 + \hat V$ の固有値を、$\hat V$ のべきで近似する方法である。縮退のない準位 $E_n^{(0)}$ の1次補正は期待値 $\langle n|\hat V|n\rangle$、2次補正は $\sum_{k \neq n}|\langle k|\hat V|n\rangle|^2/(E_n^{(0)} - E_k^{(0)})$ になる。縮退がある場合は、縮退した状態の空間で $\hat V$ の行列を対角化して1次補正を求める。

## 摂動展開の考え方

$\hat H_0|n\rangle = E_n^{(0)}|n\rangle$ の解がすべて分かっているとし、$\hat H = \hat H_0 + \lambda\hat V$ の固有値と固有状態を

$$E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2E_n^{(2)} + \cdots, \qquad |\psi_n\rangle = |n\rangle + \lambda|n^{(1)}\rangle + \cdots$$

と展開する。$(\hat H_0 + \lambda\hat V)|\psi_n\rangle = E_n|\psi_n\rangle$ の $\lambda$ の同じべきの係数を比べ、左から $\langle k|$ を掛けると各次の補正が出る。最後に $\lambda = 1$ とおく。行列要素を $V_{kn} = \langle k|\hat V|n\rangle$ と書く。

## 縮退のない場合の1次・2次補正

### 定理・法則：縮退のない摂動論

条件：

$E_n^{(0)}$ は縮退していない。$|k\rangle$ は $\hat H_0$ の固有状態の正規直交完全系。すべての $k \neq n$ で $|V_{kn}| \ll |E_n^{(0)} - E_k^{(0)}|$。

主張：

$$E_n^{(1)} = V_{nn}, \qquad E_n^{(2)} = \sum_{k \neq n}\frac{|V_{kn}|^2}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}}$$

$$|\psi_n\rangle \approx |n\rangle + \sum_{k \neq n}\frac{V_{kn}}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}}|k\rangle$$

要点：

基底状態の2次補正は、分母がすべて負なので $0$ 以下になる。準位の間隔に比べて $V_{kn}$ が小さくないと低次で打ち切れず、近い準位があると補正が大きくなる。

### 計算例：一様な力を加えた調和振動子

$\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat x^2 + F\hat x$ のエネルギーを摂動の2次まで求め、厳密解と比べよ。

解答：

$\hat x = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger)$ なので $V_{nn} = 0$ で、1次補正は $0$。$0$ でない非対角要素は $V_{n+1, n} = F\sqrt{\hbar(n + 1)/2m\omega}$ と $V_{n-1, n} = F\sqrt{\hbar n/2m\omega}$ だけで

$$E_n^{(2)} = \frac{F^2\hbar}{2m\omega}\left(\frac{n + 1}{-\hbar\omega} + \frac{n}{\hbar\omega}\right) = -\frac{F^2}{2m\omega^2}$$

検算：

平方完成すると $\frac{1}{2}m\omega^2\left(x + \frac{F}{m\omega^2}\right)^2 - \frac{F^2}{2m\omega^2}$ となり、厳密解は $E_n = \hbar\omega(n + \frac{1}{2}) - \frac{F^2}{2m\omega^2}$。2次の摂動が厳密解と一致するので、3次以上の補正はすべて $0$ である。

### 計算例：非調和項の1次補正

調和振動子に $\hat V = \lambda\hat x^4$ を加えたときの1次補正を求めよ。

解答：

$\hat x^4 = \left(\frac{\hbar}{2m\omega}\right)^2(\hat a + \hat a^\dagger)^4$ の対角要素は、$\hat a$ と $\hat a^\dagger$ を2個ずつ含む6通りの並びから $\langle n|(\hat a + \hat a^\dagger)^4|n\rangle = 6n^2 + 6n + 3$。よって

$$E_n^{(1)} = 3\lambda\left(\frac{\hbar}{2m\omega}\right)^2(2n^2 + 2n + 1)$$

検算：

$n = 0$ では $3\lambda\hbar^2/(4m^2\omega^2)$ で、ガウス分布の4次モーメント $\langle x^4\rangle = 3\langle x^2\rangle^2$（$\langle x^2\rangle = \hbar/2m\omega$）と一致する。

### 計算例：2準位系の2次摂動と厳密解

$\hat H = \begin{pmatrix}E_1 & v\\ v & E_2\end{pmatrix}$（$E_1 < E_2$、$v$ は実数で $|v| \ll E_2 - E_1$）の固有値を摂動の2次まで求め、厳密解の展開と比べよ。

解答：

対角部分を $\hat H_0$、非対角部分を $\hat V$ とすると $V_{11} = V_{22} = 0$ で、2次までの固有値は $E_1 + \frac{v^2}{E_1 - E_2}$ と $E_2 + \frac{v^2}{E_2 - E_1}$。

検算：

厳密解 $\frac{E_1 + E_2}{2} \mp \sqrt{\left(\frac{E_2 - E_1}{2}\right)^2 + v^2}$ を $v^2$ について1次まで展開すると同じ式になる。低い準位は下がり、高い準位は上がって間隔が広がる（準位反発）。

## 縮退がある場合の摂動論

### 定理・法則：縮退のある摂動論

条件：

$E^{(0)}$ が $g$ 重に縮退し、その固有空間の正規直交基底を $|n_1\rangle, \dots, |n_g\rangle$ とする。他の準位とは十分離れている。

主張：

1次補正 $E^{(1)}$ は、$g \times g$ 行列 $W_{ij} = \langle n_i|\hat V|n_j\rangle$ の固有値で与えられる。

$$\det\left(W - E^{(1)}I\right) = 0$$

対応する固有ベクトルが、摂動を入れたときに連続につながる0次の状態を与える。

要点：

縮退のない場合の式をそのまま使うと、分母 $E_n^{(0)} - E_k^{(0)}$ が $0$ になって発散する。先に $W$ を対角化すれば、縮退した状態どうしの非対角要素が $0$ になる。$W$ の固有値が重なると縮退は1次では解けず、2次以上を調べる。

### 計算例：2重縮退の分裂

$\hat H_0 = E_0I$（2重縮退）に $\hat V = \begin{pmatrix}0 & \Delta\\ \Delta & 0\end{pmatrix}$（$\Delta$ は実数）を加える。1次補正と0次の状態を求めよ。

解答：

$W = \hat V$ の固有値は $\pm\Delta$ で、固有ベクトルは $\frac{1}{\sqrt{2}}(1, \pm 1)^{\mathsf T}$。準位は $E_0 \pm \Delta$ に分裂する。

検算：

この $\hat H = \hat H_0 + \hat V$ は厳密に対角化でき、固有値 $E_0 \pm \Delta$ は1次の結果と一致する。縮退のない場合の式で $\Delta^2/(E_0 - E_0)$ と計算すると発散する。

## 時間に依存する摂動と遷移確率

### 定理・法則：1次の遷移確率

条件：

時刻 $0$ に $\hat H_0$ の固有状態 $|i\rangle$ にあった系に摂動 $\hat V(t)$ を加える。遷移確率が $1$ より十分小さい範囲で使う。

主張：

時刻 $t$ に $|f\rangle$（$f \neq i$）に見つかる確率は、1次の近似で

$$P_{i \to f}(t) = \frac{1}{\hbar^2}\left|\int_0^t\langle f|\hat V(t')|i\rangle e^{i\omega_{fi}t'}\,dt'\right|^2, \qquad \omega_{fi} = \frac{E_f - E_i}{\hbar}$$

要点：

一定の摂動を $t = 0$ から加えると $P_{i \to f} = \frac{4|V_{fi}|^2}{\hbar^2}\frac{\sin^2(\omega_{fi}t/2)}{\omega_{fi}^2}$ になる。終状態が連続的に分布する場合、$t$ が大きいと単位時間あたりの遷移確率が一定になり、フェルミの黄金律 $\Gamma = \frac{2\pi}{\hbar}|V_{fi}|^2\rho(E_f)$（$\rho$ は終状態の状態密度）が得られる。

## 摂動論でよくある誤り

1. 2次補正の分母を $E_k^{(0)} - E_n^{(0)}$ と逆にする。分母は（注目する準位）−（他の準位）で、基底状態の2次補正は負になる。
2. 縮退した準位に縮退のない場合の式を使う。分母が $0$ になるので、縮退した部分空間で $\hat V$ の行列を対角化してから使う。
3. 1次補正が $0$ なので摂動の影響はないと結論する。$V_{nn} = 0$ でも2次補正は一般に $0$ でない（一様な力を加えた調和振動子の例）。
4. 摂動が小さいかを $\hat V$ の大きさだけで判断する。条件は行列要素と準位の間隔の比 $|V_{kn}/(E_n^{(0)} - E_k^{(0)})| \ll 1$ で、準位が近いと小さな摂動でも展開が使えない。
5. 1次の状態の補正に $k = n$ の項を含める。和は $k \neq n$ だけでとり、$\langle n|\psi_n\rangle = 1$ となるように規格化の約束を決めておく。

## 摂動論が出た院試の過去問

### [摂動論](https://inshihub.com/exam-themes/perturbation-theory)（11大学・23問）

- [京都大学 専門科目（物理学） 2026年度 第7問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/physics-and-astronomy/2026#problem-7): II-1 量子力学(水素原子の Stark 効果)
- [千葉大学大学院 物理学 2026年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/chiba-university/graduate-school-of-science-and-engineering/physics/2026#problem-4): 量子力学
- [名古屋大学大学院 物理学 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-university/graduate-school-of-science/physics/2026#problem-3): 量子力学
- [東京大学 物理学 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-engineering/applied-physics/2026#problem-2): 調和振動子と突然近似
- [東京都立大学大学院 物理 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-metropolitan-university/graduate-school-of-science/physics/2026-winter#problem-3): 量子力学
- [九州大学大学院 物理学 2025年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-science/physics/2025#problem-3): 物理学III：不確定性関係と電場中の調和振動子

解答まで無料で読める演習問題:

- [東京大学 専門科目（物理学） 2015年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/physics/specialized-physics/2015#problem-1): 量子力学：円周上のデルタ関数ポテンシャル