東大 工学系研究科 物理工学専攻 物理学 2018年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

真空中の同心球殻

内球半径を $a$、外球半径を $b$ とする。内球に $Q_0$、外球に $-Q_0$ があるとき、ガウスの法則より $$E(r)= \begin{cases} 0, & r<a,\\ \dfrac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, & a<r<b,\\ 0, & r>b. \end{cases}$$ $\Phi(\infty)=0$ かつ外球外で電場がゼロなので、外球の電位はゼロである。したがって $$\Phi(r)= \begin{cases} \dfrac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac1a-\dfrac1b\right), & r<a,\\ \dfrac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac1r-\dfrac1b\right), & a<r<b,\\ 0, & r>b. \end{cases}$$ 静電容量は $$C_0=\frac{Q_0}{\Phi(a)-\Phi(b)} =4\pi\varepsilon_0\frac{ab}{b-a}.$$

誘電体の挿入

全領域を誘電率 $\varepsilon$ の媒質で満たすと $$C=4\pi\varepsilon\frac{ab}{b-a},\qquad U=\frac{Q_0^2}{2C} =\frac{Q_0^2(b-a)}{8\pi\varepsilon ab}.$$ 外球内面から厚さ $d$ だけ誘電体を入れる場合は、球殻方向の直列容量として $$\frac1C= \frac{1}{4\pi} \left\{ \frac1{\varepsilon_0}\left(\frac1a-\frac1{b-d}\right) +\frac1{\varepsilon}\left(\frac1{b-d}-\frac1b\right) \right\}.$$ $d\ll b-a$ で一次まで展開すると $$\Delta C=C-C_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0a^2}{(b-a)^2} \left(1-\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\right)d .$$

一様な漏れ電流

誘電率 $\varepsilon$、電気伝導率 $\sigma$ の媒質では、同じ電場に対し $$I=4\pi r^2\sigma E(r)=\frac{\sigma}{\varepsilon}Q_0$$ となる。抵抗は $$R_{\mathrm{leak}} =\int_a^b\frac{\mathrm{d}r}{4\pi\sigma r^2} =\frac{b-a}{4\pi\sigma ab}.$$ 発熱率は $$P=IV =\frac{\sigma Q_0^2(b-a)}{4\pi\varepsilon^2ab}.$$ 電源を外すと $$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\frac{\sigma}{\varepsilon}Q, \qquad Q(t)=Q_0e^{-\sigma t/\varepsilon}.$$ 時刻 $0$ から $t$ までのジュール熱は静電エネルギーの減少分で $$W_J(t)=\frac{Q_0^2(b-a)}{8\pi\varepsilon ab} \left(1-e^{-2\sigma t/\varepsilon}\right).$$

二層媒質の界面電荷

媒質 1,2 の電気伝導率を $\sigma_1,\sigma_2$、誘電率を $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ とし、境界半径を $r_0$ とする。定常電流 $I$ のもとで $$E_i(r)=\frac{I}{4\pi\sigma_i r^2}.$$ 界面の自由電荷面密度は法線方向の $D$ の跳びであり、 $$\rho_s = \frac{I}{4\pi r_0^2} \left(\frac{\varepsilon_2}{\sigma_2} -\frac{\varepsilon_1}{\sigma_1}\right).$$