東大 工学系研究科 物理工学専攻 物理学 2017年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

摩擦つき三物体

物体 $C$ を速度 $v_0$ で動かすと、物体 $B$ が静止している間、ばね $BC$ の伸びは $v_0t$ である。静止摩擦の限界 $$kv_0t_0=\mu mg$$ から $$t_0=\frac{\mu mg}{kv_0}.$$

物体 $B$ が動き始めた時刻を改めて $t=0$ とする。動摩擦力は $2\mu mg/3$ で、物体 $A$ は静止している。物体 $B$ の変位を $x_B(t)$ とすると $$m\ddot{x}_B =k\left(\frac{\mu mg}{k}+v_0t-x_B\right)-kx_B-\frac{2\mu mg}{3}.$$ すなわち $$\ddot{x}_B+\omega^2x_B=\frac{k}{m}v_0t+\frac{\mu g}{3}, \qquad \omega=\sqrt{\frac{2k}{m}}.$$ $x_B(0)=\dot{x}_B(0)=0$ から $$x_B(t)= \frac{v_0t}{2} +\frac{\mu mg}{6k}\{1-\cos(\omega t)\} -\frac{v_0}{2\omega}\sin(\omega t).$$ $t_0\sqrt{k/m}\ll1$ では $$x_B(t_0)\simeq \frac{kv_0t_0^3}{3m}.$$ このとき $A$ にかかるばね力は $kx_B(t_0)$ であり、 $$\frac{kx_B(t_0)}{\mu mg} \simeq \frac{kt_0^2}{3m}\ll1$$ なので、物体 $A$ はまだ静止している。

ポテンシャル中の三質点

外場ポテンシャル $$U(x)=k_1l^2\left\{-\frac12\left(\frac{x}{l}\right)^2 +\frac14\left(\frac{x}{l}\right)^4\right\}$$ の曲率は $$U''(\pm l)=2k_1,\qquad U''(0)=-k_1.$$ つり合い位置からの変位を $q_A,q_B,q_C$ とすると、一次の運動方程式は $$m\ddot{q}_A=-(k_0+2k_1)q_A+k_0q_B,$$ $$m\ddot{q}_B=k_0q_A+(k_1-2k_0)q_B+k_0q_C,$$ $$m\ddot{q}_C=k_0q_B-(k_0+2k_1)q_C.$$ 復元行列の固有値を $\lambda=m\omega^2$ と書くと、一つは反対称モード $$(q_A,q_B,q_C)\propto(1,0,-1),\qquad \lambda_0=k_0+2k_1.$$ 残る二つの対称モードは $$\lambda_\pm = \frac{3k_0+k_1 \pm\sqrt{9k_0^2-6k_0k_1+9k_1^2}}{2}.$$ したがって固有角振動数は $$\omega_0=\sqrt{\frac{k_0+2k_1}{m}},\qquad \omega_\pm=\sqrt{\frac{\lambda_\pm}{m}}.$$ 不安定化するのは $\lambda_-$ の対称モードである。境界は $\lambda_-=0$、すなわち $$k_c=\frac32k_0.$$ $k_1=4k_c/9=2k_0/3$ では $\lambda_-=k_0/3$ で、対応する変位比は $$q_A:q_B:q_C=1:2:1.$$