阪大 情報科学研究科 情報数理学専攻 専門科目（情報数理学） 2021年度 院試 解答例・解説

転倒数を見ると評価回数まで分かる

この整列法は、左へ戻りながら隣接転倒を1つずつ解消する gnome sort 型の手続きである。交換回数だけなら転倒数そのものだが、条件式の評価回数は「前進した回数」も必要になる。$i$ の増減を収支で見ると、真の回数と交換回数の関係が一気に決まる。

べき乗の回数は下位ビットで決まる

平方は2進表記の桁数から決まり、追加で $a$ を掛ける回数は、最上位を除いた1ビットの数で決まる。$a^{15}$ の例では通常の平方反復より、加法鎖をうまく選ぶ方が少ない乗算で済む。

行列の対角和の意味

$(A^3)_{ii}$ は頂点 $i$ から出発して3歩で $i$ に戻る歩道の数である。単純無向グラフで長さ3の閉歩道が存在するのは三角形を回るときであり、1つの三角形は6通りに数えられる。この対応を書ければ、最大値・最小辺数の議論は三角形の数え上げに帰着できる。

線形計画のパラメータは凸包で読む

$x_i$ は非負で和が1なので、各列ベクトルを混ぜる重みである。したがって実行可能な $(\alpha,\beta)$ は、行列計算を解くよりも、4点の凸包として見るのが最も早い。

極座標ではなく傾きで変換する

$T=Y/X$ は角度そのものではなく傾きである。右半円では $X>0$ なので $T$ は全実数を動く。ヤコビアン $s/(1+t^2)$ を落とすと密度の規格化が崩れる。

対応のある検定

同じ対象を2つの秤で測っているので、独立2標本ではなく差 $d_i=x_i-y_i$ の1標本検定として扱う。自由度は標本数5に対して $4$ であり、両側検定では表の上側確率 $0.025$ の列を使う。

極が単位円の内外どちらにあるか

複素積分では、$a$ の値によって極 $\pm ia$ が単位円の内側に入るかが変わる。$a>1$ の場合は外側の極を直接扱うのではなく、$z=0$ まわりの級数展開で留数を読むと、極限まで自然に計算できる。

積分因子の決め方

$\lambda$ が $xy$ だけの関数である、という指定を使うと完全性条件が常微分方程式に落ちる。この問題では $xP-yQ$ と $P_y-Q_x$ が同じ形になり、$\lambda'+\lambda=0$ が直ちに得られる。

級数公式はParsevalで出す

部分分数展開を使ってもよいが、この設問の流れではフーリエ係数を計算し、Parseval の等式を使うのが最短である。$a$ が整数でないため分母 $k+a$ が0にならない点も明記しておくと答案として安定する。

双極子近似の有効範囲

遠方近似では、電荷間隔 $d$ に比べて観測距離 $r$ が十分大きいことが必要である。このとき単極子項は $+q$ と $-q$ で打ち消し合い、最初に残る項が双極子モーメント $\mathbf{p}=qd\,\hat{\mathbf{z}}$ に比例する。

非干渉光源では強度を積分する

光源上の異なる点から出た光は位相関係がランダムなので、電場振幅を足してから二乗してはいけない。各点光源が作る二重ピンホール干渉の強度を、光源幅にわたって積分する。この平均化が $\sin\alpha/\alpha$ の因子を生み、光源が広がるほど縞が見えにくくなる。

鮮明度と視直径

鮮明度の零点は、広がった光源の両端からの寄与が干渉項を打ち消す条件を表す。最初の零点を使うと測定誤差に比較的強く、$D/r=\lambda/d$ という簡潔な形で光源の視直径を推定できる。

発色の分類

虹は分散と幾何光学、夕焼けは散乱、タマムシの羽は薄膜・多層構造による干渉で説明する。名称だけでなく、どの波長が強く届くか、または強め合うかまで書くと物理の答案になる。