東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2021年度 院試 過去問 解答例・解説（全18問）

符号反転と置換を分ける

$K$ から $M$ へは平方根を 4 個独立に加えているだけなので，まず符号反転群 $(\mathbb F_2)^4$ を見る。$F$ まで下げると，さらに 4 変数の置換が作用する。 この二段階を混ぜないことが重要である。

ガロワな中間体の判定

$F$ 上ガロワであることは，固定部分群が全ガロワ群で正規であることに対応する。 符号反転群の部分群のうち，置換で保たれるものだけを拾えばよい。

重根があると連続パラメータが出る

冪零元を持つ局所因子では，冪零元の一次係数を自由に伸縮できる。この自由度が $\mathbb R^\times$ または $\mathbb C^\times$ を含むため，自己同型群は有限に ならない。

重根なしなら有限エタール

重根のない因子だけなら，代数は $\mathbb R$ と $\mathbb C$ の有限直積に分解する。 残る自由度は有限個の成分の置換と複素共役だけである。

半線型群では体自己同型で類が融合する

$\operatorname{GL}(2,9)$ 内の共役類を先に分類し，係数の 3 乗写像で同一視される ものを合わせる。類の大きさは，固定される場合はそのまま，固定されない場合は 二つ分になる。

後半はラング写像

$A\mapsto A(A^{(3)})^{-1}$ の像が $\theta$ の共役類を与える。可換条件で $\mathbb F_3$ 係数に落ち，最後は $\operatorname{GL}(2,3)$ の involution の 個数に帰着する。

二項式の既約性

二項式 $X^a-Y^bZ^c$ は，指数ベクトルが原始的なら既約である。ここでは $\gcd(a,b,c)=1$ がその条件そのものである。

正規化の見つけ方

$a=b$ では $X^a=Y^aZ^c$ なので，$Z=V^a$，$Y=W$，$X=V^cW$ と置くと 関係式がちょうど消える。残りは $\gcd(a,c)=1$ により分数体が一致することと， $V$ が $A$ 上整であることを確認すればよい。

独立性は $H^1(S^3)=0$

二つの原始形式の差は閉 1 形式であり，三次元球面では完全形式になる。あとは ストークスの定理で積分差が消える。

トーラスでは二次元性を使う

$\omega$ のコホモロジー類を閉 1 形式の積で代表し，残りを完全形式に押し込む。 引き戻した 1 形式が $S^3$ 上で完全になることが，最後の消滅の理由である。

リンクを計算する

原点を除いた商空間は，半径方向により 3 次元球面上の商へ縮む。二つの Hopf 円が 同じ円に次数 2 で貼られる，というモデルに直すとホモロジー計算が素直になる。

局所ユークリッド性の否定

4 次元多様体の点なら，小球から点を抜いたもののホモロジーは $S^3$ のものに なる。ここではリンクに $H_1,H_2$ が残るため，局所的に $\mathbb R^4$ ではない。

面積は特異値の積

2 次元では，微分の面積拡大率は二つの特異値の積である。最小伸縮率と最大伸縮率の 二乗で挟むだけで，積分評価が得られる。

次数の整数性

平均面積倍率は符号付き次数に等しい。下から 1 を超えると，次数は絶対値 2 以上に 跳ぶため，上の伸縮率に $\sqrt2$ という下限が出る。

制限の独立性

$dQ$ を掛けた 3 形式が 0 になる 2 形式は，レベル面に制限すると消える。したがって 条件をみたす 2 形式の差は $M$ 上では見えない。

双曲面座標で積分する

$x^2+y^2-z^2=1$ には $(\cosh u\cos\theta,\cosh u\sin\theta,\sinh u)$ が自然である。特異値の対数の 制限が $|u|\le r$ になり，積分は一次元積分に落ちる。

$q\to0$ では幾何平均になる

$\int f^q=\int e^{q\log f}$ を 1 次展開すると，$\log\|f\|_q$ は $\int\log f$ に近づく。これは $L^q$ ノルムの極限が幾何平均になるという標準事実である。

負の無限大の扱い

$\log f$ の正の部分は $L^p$ 条件から制御される。一方，負の部分は無限大でもよい。 その場合は切り上げ $f_\varepsilon$ で有限の場合に帰着する。

ノルムは帯で鋭くなる

評価に現れる係数は $1-y$ で，最大値は 1 である。最大値そのものは測度 0 の境界で 取られるが，境界近くに支えを寄せれば任意に近づく。

固有値問題は二階常微分方程式

$STf$ は $x$ だけに依存するため，固有関数も $x$ だけの関数になる。二回微分で 余弦型の境界値問題に落とすのが最短である。

境界条件で端点項が消える

長さの微分では部分積分を行う。端点項は $u_x(0,t)=u_x(1,t)=0$ で消える。

$\arctan$ に気づく

$\frac{u_{xx}}{1+u_x^2}$ は $\partial_x(\arctan u_x)$ である。保存量の計算は この一行に集約される。

任意の有界領域では双曲計量を使う

円板に限らないため，初等的な Schwarz の補題をそのまま使うのではなく，双曲計量版の Schwarz--Pick を使うのが自然である。

等号の場合は回転が反例

微分の絶対値が 1 の場合は，自己同型が残る。単位円板の無理角回転だけで，反復列が 収束しない例になる。

$\log(1+x_1)$ で線形化

最初の方程式は $\log(1+y)$ を取ると $v'=v$ になる。ここで得た二重指数的な 増大を，二つ目の方程式の上からの評価に使う。

$\sqrt{x_2}$ を見る

$x_1x_2>1$ 以後は，$(\sqrt{x_2})'$ の余分な項を $\sqrt{x_1}$ で吸収できる。 この変形が最後の二重指数型上界につながる。

中点公式は二階微分で評価

各小区間の中点まわりに展開すると一次項が消える。残る二次項の積分が $h^3/24$ を与える。

端点特異性は分割して処理

$(1-x)^{3/2}$ は二階微分が $x=1$ で発散するため，全区間に通常評価を直接使えない。 最後の小区間だけ粗く押さえ，残りでは二階微分の上界を使う。

正体は Laguerre 多項式

母関数を既知の形と照合すると $\alpha=-1/2$ の Laguerre 多項式である。直交性と 三項漸化式はそのまま使える。

最後は母関数ごと積分

$I_{m,n}$ を個別に計算するより，$\sum I_{m,n}u^n$ を先に計算する方が簡潔である。 ガンマ積分が一度出るだけで係数が決まる。

各ひもの水平差がばねのように効く

第 $i$ 番目のひもの傾きは $x_i-x_{i-1}$ で決まる。このひもより下にある $N-i+1$ 個のおもりの高さを変えるため，係数 $N-i+1$ が付く。

固有値問題は三重対角行列

微小振動は対称三重対角行列の固有値問題になる。行列式の漸化式を取ると，そのまま 求める多項式列が得られる。

自己同型で軌道を見る

加法とスカラー倍だけの言語では，線型自己同型がそのまま構造自己同型である。固定した パラメータで生成される部分空間の外側は一つの軌道になる。

有限体なら部分空間が有限

最後の主張は，有限体上の有限生成部分空間が有限集合であることだけを追加すればよい。 定義可能集合は有限部分かその補集合が有限な部分しか作れない。

重なり項の共分散は消える

$X_jX_{j+h}$ と $X_kX_{k+h}$ は添字が一部重なる場合があるが，どこかに一次で現れる 平均 0 の変数が残るため，共分散は 0 になる。

$m_n/n\to0$ が効く場所

正の lag を同時に見るため union bound を使う。各分散が $1/n$ なので，候補数 $m_n$ が $n$ より小さいオーダーなら最大も 0 へ落ちる。