東大 情報理工学系研究科 システム情報学専攻 システム情報学 2025年度 院試 解答例・解説

重なり長さで考える

矩形関数の畳み込みは積分を力で押し切るより、支持区間の重なり長さとして見るのが最も安全である。 幅 $1$ と幅 $2$ の矩形の重なりなので、三角形ではなく台形になる点が落とし穴である。

相関の符号

相互相関は畳み込みと似ているが、片方が時間反転した位置関係になる。 今回の $R_{fg}$ の中心が $+1$ ではなく $-1$ に来るのはこのためである。 到来時間差推定でも同じ符号の注意が必要で、ピークの絶対値だけでなく、どの観測点が先行しているかを合わせて読む。

雑音を消す理由

自己相関には信号パワーと雑音パワーが両方入るが、独立な二点雑音は相互相関で平均的に消える。 したがって、相互相関ピークを信号パワー、自己相関 $0$ ラグとの差を雑音パワーとして使える。

標準形へ直す

バンドパスは $$\frac{(\omega_0/Q)s}{s^2+(\omega_0/Q)s+\omega_0^2}$$ の形へ直すと、中心角周波数、帯域幅、$Q$ が一気に読める。 式変形の途中で $s$ の係数を見失うと $Q$ が逆数になるので、分母を必ずモニックにして確認する。

演算増幅器回路の見方

理想演算増幅器では反転入力節点が仮想接地になるが、電流が入力端子へ流れ込むわけではない。 したがってKCLは「接続されている抵抗・キャパシタだけ」に対して書く。 この一点を守れば、複雑そうな多重帰還形も二つの節点方程式で処理できる。

設計条件の落とし穴

第(4)の回路では、入力側の抵抗網がピークゲインを下げる一方、等価抵抗も変える。 $\widehat R=R$ とゲイン $1$ を同時に満たす必要があるため、任意の $Q_0$ が実現できるわけではない。 正抵抗条件から $Q_0>1/\sqrt2$ が出る点まで書くと答案として締まる。

検算の仕方

得られた式は、中心角周波数で分母の実部が消えるかを見ると短く検算できる。 受動回路ではそのとき並列 $LC$ のアドミタンスが $0$ になるので最大値は $1$ を超えない。 多重帰還形では同じ条件で分母が純虚数になり、比を取るだけで $\overline G=k/2$ が出る。 この検算により、符号や $k$ の平方根を取り違えた答案を早い段階で発見できる。

内側の正帰還を先に処理する

この制御系は、単純な $PK/(1+PK)$ ではない。 制御対象の入力側に出力が加わるため、まず $y=P(u+y)$ と書き、$1-P$ を分母に持つ等価対象として整理する必要がある。 ここを飛ばすと安定条件がまったく別物になる。

逆応答の読み方

$\alpha=1/2$ のステップ応答は終値 $1$ に収束するが、初期には負方向へ動く。 これは閉ループ伝達関数の分子に右半平面零点があるためであり、安定性とは別の過渡応答上の注意点である。

余裕は数字で確認する

ボード線図の概形だけでは安定余裕の大小を読み違えやすい。 今回のナイキスト軌跡は $-1$ の右側を通るので安定だが、負の実軸との交点が $-0.826$ と近く、ゲイン余裕は十分大きいとはいえない。 補償では「定常偏差を良くすること」と「位相余裕を保つこと」を分けて確認するのが重要である。