東大 情報理工学系研究科 システム情報学専攻 システム情報学 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

(1) 非反転増幅回路

理想演算増幅器なので、負帰還が成立している範囲では $$V_+=V_-=V_1$$ である。反転入力端子には電流が流れないから、抵抗分圧より $$V_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}V_o.$$ したがって $$\boxed{\frac{V_o}{V_1}=1+\frac{R_2}{R_1}}$$ である。

(2) 電圧フォロワの挿入

$R_1=\infty,\ R_2=0$ とすると、図1の回路は $$\frac{V_o}{V_1}=1$$ の電圧フォロワになる。入力インピーダンスは無限大、出力インピーダンスは $0$ とみなせる。

電圧フォロワを入れない場合、負荷端の電位は単なる分圧で $$\boxed{V_Y=\frac{R_L}{r+R_L}V_s}$$ である。一方、電圧フォロワを挿入した場合、電源側には電流が流れないので内部抵抗 $r$ に電圧降下が生じず、フォロワ入力は $V_s$ となる。理想フォロワはその電圧を負荷へ与えるので $$\boxed{V_Y=V_s}$$ である。したがって挿入の効果は、信号源と負荷を分離し、負荷による電圧低下を防ぐことである。

(3a) Wienブリッジの伝達関数

$s=j\omega$ とし、出力側の直列 $RC$ のインピーダンスを $$Z_s=R+\frac{1}{sC}$$ とする。接地側の並列 $RC$ のインピーダンスは $$Z_p=\frac{1}{1/R+sC} = \frac{R}{1+sRC}$$ である。よって $$\frac{V_2}{V_o} = \frac{Z_p}{Z_s+Z_p} = \boxed{ \frac{sRC}{s^2R^2C^2+3sRC+1}}.$$

(3b) 発振条件

$X_1$ と $X_2$ を接続すると、非反転増幅器と Wien ブリッジの正帰還回路になる。発振条件はループゲインの位相が $0$、大きさが $1$ であること。

Wien ブリッジの伝達関数 $$\beta(s)=\frac{sRC}{s^2R^2C^2+3sRC+1}$$ に $s=j\omega$ を代入すると、分母の実部は $$1-\omega^2R^2C^2$$ である。位相が $0$ になるには実部が消えればよいので $$\boxed{\omega_0=\frac{1}{RC}}$$ である。このとき $$\beta(j\omega_0)=\frac{1}{3}.$$ 非反転増幅器の利得は $A=1+R_2/R_1$ だから、発振開始条件は $$A\beta=1$$ すなわち $$\boxed{1+\frac{R_2}{R_1}=3,\qquad R_2=2R_1}$$ である。

(3c) $R_2$ がずれたときの振幅

$R_2$ を $R_2+\varepsilon$ に変えると、非反転増幅器の利得は $$A=1+\frac{R_2+\varepsilon}{R_1} = 3+\frac{\varepsilon}{R_1}$$ となる。したがって $\varepsilon>0$ ではループゲインが $1$ を超え、正弦波の振幅は増大する。理想素子だけの線形モデルでは振幅を制限する機構がないため、増大は止まらない。

一方、$\varepsilon<0$ ではループゲインが $1$ 未満になり、振幅は時間とともに減衰する。現実の発振器では、起動時に少し大きな利得を与え、振幅が大きくなったら非線形素子や自動利得制御で実効利得を $3$ に近づける。