東大 情報理工学系研究科 システム情報学専攻 システム情報学 2022年度 院試 解答例・解説

極は安定性、零点は位相を決める

因果 IIR の安定性は極だけで判定する。零点が単位円外にあっても BIBO 安定性は壊れない。第(3)問はこの事実を利用し、自己相関、すなわち周波数応答の大きさを保ったまま位相だけを変える問題である。

零点反転は全域通過因子を掛ける操作

$\widetilde G(z)/G(z)$ は単位円上で絶対値が $1$ になる因子である。したがって出力のパワースペクトルや自己相関は変わらない。一方、時間波形や位相応答は変わるので、同じ自己相関を持つシステムは一意ではない。

電圧フォロワの役割

電圧フォロワは電圧利得を変えないが、前段から見ると電流をほとんど取らず、後段へは低い出力インピーダンスで電圧を供給する。この「インピーダンス変換」を言葉で説明できると、計算だけでなく回路の意味も伝わる。

Wienブリッジは位相条件と利得条件を分けて見る

$\omega_0=1/(RC)$ は位相条件から出る。そこでブリッジの大きさが $1/3$ になるため、増幅器の利得は $3$ にすればよい。発振問題では、まず位相、次に大きさ、最後に振幅安定化という順に整理すると答案が崩れにくい。

Routh表は第1列だけで結論が出る

表全体をきれいに埋めることより、第1列の符号変化を間違えないことが重要である。場合 (i) は係数がすべて正でも不安定になる例で、係数の正性だけでは判定できない。

零点は応答の出だしを変える

場合 (iv) のように右半平面零点を持つと、最終値は正でも初期応答が逆方向へ動く。この「逆応答」は非最小位相系の典型的な特徴であり、図選択では初期傾きと最終値を先に確認するとよい。

積和形と排他的論理和標準形は別物

最簡積和形では隣接する minterm をまとめる。一方、排他的論理和標準形では GF(2) 上の多項式として係数を求める。同じ関数でも、簡単に見える形が表現形式によって変わる。

固定故障の検出条件

固定故障では、故障箇所の値を正常時と逆に励起し、さらにその違いが出力まで伝搬する必要がある。この問題では $x$ が1に固定されるので、まず $x=0$ を入力し、その上で正常出力が故障時出力と異なる場合だけ検出できる。

符号は回転方向で決め切る

この問題で最も落としやすいのは、張力と摩擦力のモーメントの符号である。時計回りを正にすると、床との摩擦は時計回り、糸の張力は反時計回りに働くため、回転の式は $I\ddot\theta=RF-rT$ になる。

並進と回転を滑りなし条件で結ぶ

転がり条件 $\ddot X=R\ddot\theta$ を早めに使うと、未知量は $F$ と $\ddot\theta$ だけになる。摩擦力は運動を妨げるとは限らず、ここでは回転を並進へ変換する拘束力として働く。