静岡大 総合科学技術研究科 情報学専攻 情報科学 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

問1：平面の角度

2つの平面の法線ベクトルを $$\boldsymbol n_1=(1,-1,1),\qquad \boldsymbol n_2=(2,1,3)$$ とおく。平面のなす角は法線ベクトルのなす角で求めればよいので、 $$\boldsymbol n_1\cdot\boldsymbol n_2 =1\cdot2+(-1)\cdot1+1\cdot3=4,$$ $$\|\boldsymbol n_1\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt3,\qquad \|\boldsymbol n_2\|=\sqrt{2^2+1^2+3^2}=\sqrt{14}.$$ したがって $$\cos\theta= \frac{|\boldsymbol n_1\cdot\boldsymbol n_2|} {\|\boldsymbol n_1\|\,\|\boldsymbol n_2\|} =\frac{4}{\sqrt{42}}.$$

問1：連立一次方程式

拡大係数行列に対して掃き出しを行う。 $$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{ccc|c} 3&2&1&4\\ 7&8&9&10\\ 5&5&6&6 \end{array} \right] &\xrightarrow{R_2\leftarrow 3R_2-7R_1,\ R_3\leftarrow 3R_3-5R_1} \left[ \begin{array}{ccc|c} 3&2&1&4\\ 0&10&20&2\\ 0&5&13&-2 \end{array} \right] \\ &\xrightarrow{R_2\leftarrow R_2/2} \left[ \begin{array}{ccc|c} 3&2&1&4\\ 0&5&10&1\\ 0&5&13&-2 \end{array} \right] \\ &\xrightarrow{R_3\leftarrow R_3-R_2} \left[ \begin{array}{ccc|c} 3&2&1&4\\ 0&5&10&1\\ 0&0&3&-3 \end{array} \right]. \end{aligned}$$ よって $z=-1$。第2行から $5y+10z=1$ であるから $$5y-10=1,\qquad y=\frac{11}{5}.$$ 第1行に戻して $$3x+2\cdot\frac{11}{5}-1=4 \quad\Longrightarrow\quad 3x=\frac35,\qquad x=\frac15.$$

問2：勾配

$$\nabla f=(1,1),$$ $$\nabla g=(6x_1,-8x_2),$$ $$\nabla h= \left(3x_1^2-3x_2^2,\,-6x_1x_2\right).$$

問2：マクローリン展開

幾何級数、対数関数、正接関数の標準展開を用いる。 $$\frac{2}{1-2x} =2\sum_{k=0}^{\infty}(2x)^k =2+4x+8x^2+16x^3+32x^4+O(x^5).$$ $$\log(1+x^2) =x^2-\frac{x^4}{2}+O(x^6).$$ $$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5).$$ $x^4$ まで書くという指定では、$\tan x$ の $x^2,x^4$ 係数は $0$ である。

問3：有理数判定型の関数

固定した $m$ に対して $$a_m(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)$$ とおく。もし $\cos(m!\pi x)=\pm1$ ならば $a_m(x)=1$ である。一方、 $|\cos(m!\pi x)|<1$ ならば偶数乗は $0$ に収束するので $a_m(x)=0$ である。

$x=p/q\in\mathbb Q$ と既約分数で表す。$m\ge q$ ならば $q\mid m!$ だから $$m!x=\frac{m!p}{q}\in\mathbb Z.$$ したがって $\cos(m!\pi x)=\pm1$ となり、十分大きい $m$ では常に $a_m(x)=1$ である。よって $$\lim_{m\to\infty}a_m(x)=1.$$

次に $x\notin\mathbb Q$ とする。このとき任意の整数 $m$ について $m!x$ も無理数であり、整数にはならない。したがって $\cos(m!\pi x)\ne\pm1$ で、各 $m$ について $a_m(x)=0$ である。よって $$\lim_{m\to\infty}a_m(x)=0.$$