熊本大 自然科学教育部 理学専攻 数学コース 数学 2026年度第1期 専門基礎 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

与えられた $B$ は対角成分がすべて $1$ の下三角行列であるから，前進代入で $$By=\mathbf{1},\qquad \mathbf{1}={}^t(1,1,1,1)$$ を解く。上から順に $$y_1=1,\qquad \frac12y_1+y_2=1,\qquad \frac34y_2+y_3=1,\qquad \frac{16}{19}y_3+y_4=1$$ となるので， $$y_1=1,\qquad y_2=\frac12,\qquad y_3=\frac58,\qquad y_4=\frac9{19}.$$

次に $A=BC$ であるから $C=B^{-1}A$ である。列ごとに $Bc_j=a_j$ を解くと $$C= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 3 & 0\\ 0 & 0 & \frac{19}{4} & 6\\ 0 & 0 & 0 & -\frac1{19} \end{pmatrix}.$$ 実際，第2行以降では直前の行を消去していく形になり，例えば第3列については $$\begin{pmatrix}0\\3\\7\\4\end{pmatrix} -\frac34\begin{pmatrix}2\\4\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\3\\\frac{19}{4}\\4\end{pmatrix}$$ という計算が現れる。

$Cz=y$ も上三角行列の後退代入で解ける。第4成分から $$-\frac1{19}z_4=\frac9{19},\qquad \frac{19}{4}z_3+6z_4=\frac58,$$ $$4z_2+3z_3=\frac12,\qquad 2z_1+2z_2=1$$ となる。したがって $$z_4=-9,\qquad z_3=\frac{23}{2},\qquad z_2=-\frac{17}{2},\qquad z_1=9.$$

行列式は分解を使えば短く求まる。$B$ の対角成分はすべて $1$ なので $$\det B=1,$$ また $C$ は上三角行列だから $$\det C =2\cdot4\cdot\frac{19}{4}\cdot\left(-\frac1{19}\right) =-2.$$ よって $$\det A=\det B\,\det C=-2.$$

最後に，すでに $$By=\mathbf{1},\qquad Cz=y$$ を満たす $z$ を求めているので， $$Az=BCz=By=\mathbf{1}$$ である。したがって $Ax=\mathbf{1}$ の解は $x=z$ であり， $$x_1=9,\qquad x_2=-\frac{17}{2},\qquad x_3=\frac{23}{2},\qquad x_4=-9.$$