熊本大 自然科学教育部 理学専攻 数学コース 数学 2026年度第1期 専門基礎 院試 解答例・解説

方針

この問題は，直接 $4$ 元連立方程式を解くよりも，指定された分解 $A=BC$ を使う方が速い。$B$ は下三角，$C$ は結果として上三角になるため，前進代入と後退代入だけで全体が終わる。

検算

最後の解については $$A\begin{pmatrix}9\\ -17/2\\ 23/2\\ -9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$$ を代入で確認できる。また $\det A=-2$ は，$C$ の対角成分の積から一瞬で検算できる。

答案上の注意

$A=BC$ から $C=AB^{-1}$ と書いてしまう誤りが起こりやすい。行列積は可換ではないので，左から $B^{-1}$ を掛けて $C=B^{-1}A$ とする必要がある。

方針

中心は $e^{-x^2}$ の整級数展開である。有界閉区間上の一様収束を先に押さえると，その後の項別積分が正当化され，テイラー展開まで自然に進む。

一様収束の見方

区間が有界であることから $|x|\le R$ とできる。あとは $\sum R^{2n}/n!$ で各項を上から押さえるだけでよい。ここで区間全体で同じ $R$ を使うことが，一様収束の答案で必ず書くべき点である。

数値計算の注意

小数第3位を四捨五入するのではなく，切り捨てる指定である。$f(1)\simeq0.7468$ なので，答は $0.75$ ではなく $0.74$ になる。

方針

3つの小問はいずれも標準事実だが，定義に戻って書くことが重要である。ハウスドルフ性は「異なる2点を交わらない開集合で分ける」，連結性は「非自明な開閉分離がない」，無限遠での収束は「大きな区間の外では値が小さい」と読む。

連結性の典型手

$\mathbb{Q}$ の非連結性では，有理数で切るのではなく無理数で切る。有理数で切ると切断点そのものが片側に入ってしまい，開集合としての扱いがやや面倒になる。無理数を使えば，左右の相対開集合がそのまま $\mathbb{Q}$ を分割する。

最大値・最小値の検算

無限遠で $0$ に近づくだけでは，常に最大値と最小値の両方があるとは限らない。例えば正の山だけを持つ関数では最大値を取り，最小値は $0$ に近づくだけで取らないことがあり得る。そのため結論は「最大値または最小値」であり，正の値を取る場合と負の値を取る場合に分けるのが自然である。