熊本大 自然科学教育部 理学専攻 数学コース 数学 2026年度第2期 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

与えられた行列を $A$ とする。直接計算により特性多項式は $$\det(\lambda I-A)=(\lambda-5)(\lambda-1)^3$$ である。したがって $$\det A=5,\qquad \text{固有値は }5\text{ が }1\text{ 重，}1\text{ が }3\text{ 重}$$ である。

固有空間は，例えば次のように取れる。 $$E_5=\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix} i\\ -1\\ i\\ 1\end{pmatrix} \right\},$$ $$E_1=\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix} i\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -i\\ 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \right\}.$$ 実際，これらをそれぞれ $A-5I$，$A-I$ に代入すると零ベクトルになる。 また $E_1$ の3本は一次独立であるから，固有値 $1$ の固有空間の次元は 代数的重複度と一致する。

ユニタリ対角化のため，$E_1$ の基底をグラム・シュミット直交化する。次の4本を列ベクトルにもつ行列を $$U= \begin{pmatrix} \frac{i}{\sqrt2} & -\frac1{\sqrt6} & -\frac{i}{2\sqrt3} & \frac{i}{2}\\ \frac1{\sqrt2} & -\frac{i}{\sqrt6} & \frac1{2\sqrt3} & -\frac12\\ 0 & \frac2{\sqrt6} & -\frac{i}{2\sqrt3} & \frac{i}{2}\\ 0 & 0 & \frac3{2\sqrt3} & \frac12 \end{pmatrix}$$ とおく。このとき各列は正規直交であり，最初の3列は固有値 $1$ に属し，最後の列は固有値 $5$ に属する。よって $$U^*U=I,\qquad U^*AU=\operatorname{diag}(1,1,1,5)$$ であり，これが求めるユニタリ対角化である。

最後に，エルミート行列の固有値が実数であることを示す。$X=X^*$ とし， $Xv=\lambda v$ を満たす $v\ne 0$ を取る。このとき標準内積について $$\lambda\langle v,v\rangle =\langle Xv,v\rangle =\langle v,Xv\rangle =\overline{\lambda}\langle v,v\rangle$$ となる。ここで $\langle v,v\rangle>0$ だから $\lambda=\overline{\lambda}$，すなわち $\lambda\in\mathbb R$ である。