静岡大 総合科学技術研究科 情報学専攻 情報科学 2021年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

問1：固有値と正規化固有ベクトル

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$$ について $$\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)(4-\lambda)-6 =\lambda^2-5\lambda-2.$$ したがって $$\lambda_{\pm}=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}.$$ $(A-\lambda I)v=0$ に対して $v=(2,\lambda-1)^T$ を取ればよい。よって正規化固有ベクトルは $$u_{\pm}^{(A)} = \frac{1}{\sqrt{4+(\lambda_{\pm}-1)^2}} \begin{pmatrix}2\\ \lambda_{\pm}-1\end{pmatrix}.$$

次に $$B=\begin{pmatrix}5&6\\6&7\end{pmatrix}$$ について $$\det(B-\lambda I) =(5-\lambda)(7-\lambda)-36 =\lambda^2-12\lambda-1.$$ したがって $$\mu_{\pm}=6\pm\sqrt{37}.$$ $(B-\mu I)v=0$ に対して $v=(6,\mu-5)^T$ を取ればよいので、 $$u_{\pm}^{(B)} = \frac{1}{\sqrt{36+(\mu_{\pm}-5)^2}} \begin{pmatrix}6\\ \mu_{\pm}-5\end{pmatrix}.$$

問2：微分と微分方程式

$$f(x)=x^2,\qquad g(x)=e^{2x}$$ より $$\frac{df}{dx}=2x,\qquad \frac{dg}{dx}=2e^{2x},$$ $$\frac{d^2f}{dx^2}=2,\qquad \frac{d^2g}{dx^2}=4e^{2x}.$$

$$\frac{dh}{dx}=x$$ の一般解は $$h(x)=\frac{x^2}{2}+C_1.$$ また $$\frac{dk}{dx}=2k(x)$$ は変数分離により $$\frac{dk}{k}=2\,dx$$ だから $$k(x)=C_2e^{2x}.$$

問3：ガロア体

(1) $\mathrm{GF}(3)$ 上のモニック2次多項式を $$x^2+ax+b\qquad (a,b\in\{0,1,2\})$$ とおく。2次式は $\mathrm{GF}(3)$ 内に根を持たなければ既約である。$x=0,1,2$ を代入して根を持たないものを調べると $$x^2+1,\qquad x^2+x+2,\qquad x^2+2x+2$$ である。

(2) $\alpha^2+1=0$ とするので、$\alpha^2=2$ である。拡大体の元は $$\mathrm{GF}(3^2) = \{a+b\alpha\mid a,b\in\mathrm{GF}(3)\}$$ であり、具体的には $$\begin{gathered} 0,\ 1,\ 2,\ \alpha,\ 2\alpha,\ 1+\alpha,\ 1+2\alpha,\\ 2+\alpha,\ 2+2\alpha \end{gathered}$$ である。

各既約多項式は $\mathrm{GF}(3^2)$ 上では次のように分解する。 $$x^2+1=(x-\alpha)(x-2\alpha),$$ $$x^2+x+2=(x-(1+\alpha))(x-(1+2\alpha)),$$ $$x^2+2x+2=(x-(2+\alpha))(x-(2+2\alpha)).$$

(3) $\mathrm{GF}(2^3)$ の非零元の乗法群の位数は $7$ である。したがって、$\alpha\ne1$ なら $\alpha^7=1$ である。ただし、和を含む式を具体的な多項式表示へ直すには、$\alpha$ の最小多項式が必要である。

標準的な仮定として $\alpha^3+\alpha+1=0$、すなわち $\alpha^3=\alpha+1$ とする。このとき $$\alpha^4=\alpha^2+\alpha,\quad \alpha^5=\alpha^2+\alpha+1,\quad \alpha^6=\alpha^2+1.$$ したがって $$\alpha+\alpha^6 =\alpha+\alpha^2+1 =\alpha^5.$$ 逆元は $(\alpha^5)^{-1}=\alpha^2$ であるから $$\alpha^4(\alpha+\alpha^6)^{-1} =\alpha^4\alpha^2 =\alpha^6 =\alpha^2+1.$$