東北大 工学研究科 応用物理学専攻 応用物理 2024年度 院試 過去問 解答例・解説

設問(1)a　位置・速度・角運動量

$s_0=R+l_0$ とおく。初期位置と回転方向を用いると $$\boldsymbol r=s_0(\cos\omega_0t,\sin\omega_0t,0),\qquad \boldsymbol v=s_0\omega_0(-\sin\omega_0t,\cos\omega_0t,0).$$ 角運動量を成分で計算して

設問(1)b　ばねの伸びと円運動の成立条件

平面内の向心力をばね張力が与えるので $$kl_0=m\omega_0^2(R+l_0),\qquad (k-m\omega_0^2)l_0=mR\omega_0^2.$$

設問(1)c　糸を引いたときの角速度

原点まわりの $z$ 成分の外力モーメントは0なので $$ms_0^2\omega_0=m(s_0/2)^2\omega.$$

設問(2)a　円錐の母線方向の運動方程式

円筒座標の半径方向を $\boldsymbol e_\rho$ とする。図の $\theta$ は下向きの鉛直軸から測るので $$\boldsymbol r=s(\sin\theta\,\boldsymbol e_\rho-\cos\theta\,\boldsymbol e_z), \quad \boldsymbol v=s\omega\sin\theta\,\boldsymbol e_\phi, \quad \boldsymbol a=-s\omega^2\sin\theta\,\boldsymbol e_\rho.$$ 母線方向に射影すると $$-ms\omega^2\sin^2\theta=mg\cos\theta-kl.$$ 従って

また原題が指定する角運動量の大きさは $$\boldsymbol L=m\omega s^2\sin\theta (\cos\theta\,\boldsymbol e_\rho+\sin\theta\,\boldsymbol e_z), \quad |\boldsymbol L|=m\omega s^2\sin\theta=ms_0^2\omega_0.$$ 従って同じ運動は $s=s_0\sqrt{\omega_0/(\omega\sin\theta)}$ も満たす。

設問(2)b　接触を保つ範囲

面の上向き法線を $\boldsymbol n=\cos\theta\boldsymbol e_\rho+\sin\theta\boldsymbol e_z$ とすると $$N=m\sin\theta(g-\omega^2s\cos\theta).$$ $N\ge0$ に前問の $s$ を代入する。$A=s_0\sqrt{\omega_0\omega^3}/g$、$t=\tan\theta>0$ とおけば $$A\frac{\cos\theta}{\sqrt{\sin\theta}}\le1 \iff t\sqrt{1+t^2}\ge A^2 \iff t^4+t^2-A^4\ge0.$$

設問(3)　逆円錐で正の張力を保つ条件

$c=\cos\theta\in(-1,0)$、$A=s_0\sqrt{\omega_0\omega^3}/g$ とおく。母線方向の運動方程式に $|L|$ から得た $s$ を入れると $$kl=ms\omega^2\sin^2\theta+mg\cos\theta =mg\{c+A(1-c^2)^{3/4}\}.$$ 従って正の伸び、すなわち正の張力を持つ条件は $$c+A(1-c^2)^{3/4}>0 \iff c^2<A^2(1-c^2)^{3/2}.$$

境界を多項式で指定するなら、$u_*=c_*^2\in(0,1)$ を $u_*^2=A^4(1-u_*)^3$ の一意根とし $c_*=-\sqrt{u_*}$ と書いてもよい。