北大 数学専攻 博士後期の院試過去問｜筆記4問150分と出題分野

北大理学院の数学専攻が公開している筆記の過去問は、博士後期課程の入試（夏期の1次筆記）の問題です。修士課程の入試には筆記試験がなく、数学レポートと口頭試問で判定します。 この記事は博士後期課程の受験者に向けて、2022〜2027年度の6回（2021〜2026年8月実施）、各4問・計24問の問題と院試Hubの解答原稿をもとに、出題分野と答案の書き方をまとめたものです。

問題は数学専攻の博士課程入試過去問ページで、2020〜2027年度の8回分が公開されています。解答例はなく、2026・2027年度は解答例の代わりに出題の意図が掲載されています（2026年10月28日確認）。 院試Hubは各年度の第1問、計6問の解答を年度別ページで無料公開しています。対象は無料解答の一覧で確認できます。

修士の入試との違い

「北大 数学科 院試」と調べて数学専攻の入試を確かめる場合、修士と博士後期で試験の形式が大きく違う点に注意してください。数学専攻の修士課程の案内は、筆記試験を行わず、数学レポートの提出と口頭試問で合否を判定すると説明しています。 2027年度夏期の修士一般選抜では、入学後に研究したい分野と、特に興味を持った定理・理論をA4で7〜10ページにまとめたレポートを出願時に提出し、その内容に基づいてオンラインで口頭試問を行いました（理学院の修士課程募集要項）。

このため、過去問ページの問題を修士の筆記対策として解く必要はありません。修士志望者の準備は、レポートと、その内容に基づく口頭試問が中心になります。修士の日程・英語スコア・レポートの条件は北大理学院のページと北大の学院別過去問一覧の数学の項にまとめています。 数学専攻の冬期募集の第一報では、2027年4月入学の修士の冬期試験は2027年2月8日にオンラインで行う予定とされています。

一方、博士後期課程の受験者のうち筆記を受ける人は、線形代数・解析・位相を中心とする証明問題を150分で4問解きます。以下はこの筆記試験についての説明です。

筆記を受ける条件と試験形式

数学専攻の博士課程の入試案内によると、博士後期課程の入試は例年、夏（8月頃）と冬（2月頃）に行います。筆記試験があるのは夏の試験の一部の受験者だけです。

修士課程を3月に修了する見込みで4月入学を目指す人は、夏の試験で筆記を受けることになります。夏の試験は一般選抜と社会人選抜が対象です。 2027年4月入学の夏期は2026年8月10・11日に行われ、合格発表は9月3日でした。募集人員は数学専攻で16名（2026年10月入学は若干名）です（理学院の博士後期課程募集要項）。 冬は2027年2月9日に対面で行う予定と告知されていますが、筆記試験はありません。

筆記試験は6回とも10時〜12時30分の150分で、問題は4問です。解答用紙は4枚で、問題ごとに指定の用紙へ書き、4枚すべてを提出します。表紙の注意には、論理的推論や式変形など、考察の過程を詳しく書くよう指示があります。 1問に使える時間は平均37分ほどです。小問の多くは証明で、行列の固有値や積分の値を求める小問でも、表紙の指示どおり途中の推論を答案に残す必要があります。

2022〜2027年度の出題テーマ

各年度の4問のテーマを、院試Hubの解答原稿の見出しから要約しました。年度の下は実施日（または実施月）です。

第1問は6回とも線形代数

第1問は毎年、線形代数の証明と計算です。像と核（2022・2024・2025年度）、線形写像の空間や可換な行列の空間の次元（2023年度）、固有値と固有ベクトル（2026・2027年度）が中心で、具体的な行列の計算だけでなく、基底を取り直して表現行列を作る議論が求められます。 2026年度の出題の意図は、固有値が複素数になる状況を扱い、対角化の裏にある表現行列の考え方を理解しているかを確かめると説明しています。

解析は関数列・級数・連続性

解析の問題は毎年1〜2問あります。関数列の各点収束と一様収束は2024・2026・2027年度、級数の収束は2022・2023・2024年度、関数の連続性・微分可能性は2022・2025年度に出ました。 2026・2027年度の第2問はどちらも、各点収束・一様収束の定義を確かめた後に、極限と積分の交換を調べる構成です。多変数の微分積分は、2024年度第4問の最小二乗の関数の勾配と、2025年度第4問の座標変換・二重積分として出ています。

位相は毎年1〜2問

位相空間の問題は6回とも出ており、2027年度は第3問・第4問の2問でした。補有限位相（2022年度）、コンパクト距離空間（2023年度）、コンパクト性と連結性の証明（2024年度）、商空間（2025年度）、自然数の初期区間が定める位相（2026年度）と、具体的な空間で定義を確かめる問題が中心です。2027年度の出題の意図は、第3問を連結性と閉包の理解を具体例で確かめる問題、第4問を集合と位相の基本問題と説明しています。

そのほかの分野

行列と解析を組み合わせた問題として、行列指数関数（2022年度第4問）と、対称行列が定める微分方程式の流れ（2023年度第4問）がありました。複素関数は2026年度第4問だけで、コーシー・リーマンの関係式から正則関数を復元し、留数定理で積分を求めます。 6回で見ると、線形代数・解析・位相の3分野で24問のほとんどを占めています。

答案の最初の一手と失点箇所

以下は、院試Hubの解答原稿で誤答例や反例として取り上げた箇所です。完全な解答は年度別ページと解答PDFにあり、ここでは最初に何を書くかと、どこで論証が崩れやすいかだけを示します。

線形代数：仮定をどこで使ったかを答案に残す

2026年度第1問（無料公開）は、非実固有値を持つ実2次正方行列の行列式が正であることから始まります。実行列の固有多項式は実係数なので、非実の固有値は共役の組で現れ、行列式はその積として正になります。共役を取らずに同じ固有値を2乗すると、符号が逆になります。 後半では固有ベクトルの実部と虚部を基底に取り、表現行列を作ります。表現行列の非対角成分の符号は、基底を並べる順番で決まるので、列の取り方と等式を一致させてください。

2027年度第1問（無料公開）は、実3次正方行列が実固有値を持つことを、3次の実係数多項式が実数解を持つことから示します。2次元の不変部分空間は、λE−Aの階数が1なら核、階数が2なら像として取れます。 像が不変になるのはλE−AがAと可換だからで、一般の行列の像は不変とは限りません。可換性を使った箇所を答案に書きます。

2023年度第1問（無料公開）では、m次元とn次元の空間の間の線形写像全体の次元はmnです。m+nと答えると、2つの空間の直和の次元と混同しています。相異なる固有値を持つ行列と可換な行列の空間は、対角化した基底で非対角成分が0になることからn次元です。単位行列ではn²次元になるので、固有値が相異なるという仮定が答えを決めています。2024年度第1問（無料公開）では、像と核の共通部分が0になることを、与えられた内積の関係から示します。べき零行列は像と核が一致する反例になり、仮定を使わずには示せないことを確かめられます。

解析：一様収束は区間全体で同じ誤差を示す

2027年度第2問では、関数列が区間の各点で0に収束しても、区間[0,1]での積分は1に近づきます。山が細く高くなって端点へ集中するためで、各点の極限と積分の極限を入れ替えると答えを失います。優収束定理を使う場合も、支配する関数がnに依存してはいけません。 2026年度第2問は、各点の極限を求めた後、区間全体で共通の誤差の上界を作って一様収束を示します。積分区間の上端が(n+1)/nと動く小問では、追加された区間の寄与が0に近づくことを別に評価します。

2025年度第2問の関数は、原点の近くで激しく振動する関数に、べき関数の振幅を掛けたものです。連続性、微分可能性、C¹級になる条件を順に求め、それぞれ条件が厳しくなります。導関数を求めるとき、合成関数の微分で出る因子を落とすと、C¹級の条件を誤ります。 連続であることから微分可能であることは出ないので、差商を点列で調べて反例を示す答案にします。

2023年度第3問は、正項級数を隣り合う項の比で比較します。比の極限が1のときは比の判定法では決まらないので、比の1次の差まで使って発散を示します。比の大小から項の大小を導くときは定数倍の余地が残るので、項の大小を定数なしで結ばないようにします。 2024年度第4問の最小二乗の関数は、残差の2乗の和に係数1/2が付いています。勾配を求めるときにこの係数を落とすと、停留点は同じでも勾配の値が2倍になり、求められた勾配の答えとしては誤ります。

行列の級数：スカラーの公式をそのまま使わない

2022年度第4問の行列指数関数では、行列の積が可換でないことを常に意識します。AとBが可換でなければ、指数関数の積を和の指数関数にまとめる公式も、2乗の差を和と差の積に分ける因数分解も成り立ちません。べき零行列の例で、両者が一致しないことを確かめられます。 最後の小問の行列式は上三角化で対角成分を追い、det(exp A)=e^(tr A) を示します。跡と行列式を取り違えたり、成分ごとに指数関数を取ったりすると、単純な対角行列の例で値が合いません。

位相：無限集合だからコンパクトでない、とは書かない

位相の問題では、定義に戻って有限部分被覆や分離する開集合を具体的に作ります。2022年度第3問の補有限位相は、無限集合上でもコンパクトです。「点が無限個あるから有限部分被覆はない」という推論は、有限個の点と有限個の開集合を混同しています。 2026年度第3問の位相では、1点集合1は開集合ですが、2は開集合ではありません。異なる2点を1点集合で分離できるのは、離散位相のようにすべての1点集合が開集合のときだけです。

2025年度第3問は、稠密な真部分集合を1点に縮めた商空間です。距離空間の商空間は距離空間とは限らず、まとめた1点は閉集合になりません。2027年度第3問では、連結な集合に閉包の点を1つ加えても連結であることを示した後、不連続な関数でもグラフが連結になり得ることを具体例で確かめます。

原題に不整合がある2023年度第4問

2023年度第4問は、冒頭で行列を実対称と仮定していますが、表示された行列は対称ではありません。院試Hubの解答では、一般の実対称行列に対する証明と、表示された行列そのものの固有値・二次形式の最大値を分けて答え、意図された訂正を一つに決めた答案は収録していません。 二次形式の最大値は行列の対称部分で決まるので、表示された行列の固有値5をそのまま最大値にはできません。過去問を解くときも、仮定と具体的なデータが両立するかを最初に確かめると、この種の行き詰まりを早く見つけられます。

150分の使い方

最初の5分で4問の小問をすべて読み、定義から直接示せる小問と、前の小問の結果を使う小問に印を付けます。1問37分を目安に、行き詰まった問題は使う定義と方針だけを書いて次へ進みます。 証明は、仮定・示すこと・使う定理を最初に書き、仮定を使った箇所を明示します。表紙の指示どおり考察の過程を残す答案は、途中で止まった場合でも何を示したかが読み手に伝わります。

分野別の練習と参考書

参考書は、過去問で止まった定義と定理に戻るために使います。線形代数は齋藤正彦『線型代数入門』（東京大学出版会）の線形写像と固有値の章、解析は杉浦光夫『解析入門I』（東京大学出版会）の関数列の一様収束と級数の章で確認できます。 位相は内田伏一『集合と位相』（裳華房）でコンパクト性・連結性・商空間の定義を確かめ、過去問の具体的な空間に当てはめて解き直してください。複素関数はアールフォルス『複素解析』（現代数学社）の正則関数と留数の範囲が、2026年度第4問に対応します。

無料解答と解答PDFの使い方

次の6問は、年度別ページで解答と考え方を無料で読めます。いずれも第1問の線形代数です。

販売している数学（博士後期課程）の解答・解説PDFは、2022〜2027年度の6回・24問72設問を80ページにまとめたもので、価格は3,200円です。定義・定理の条件と導出から、問題への適用、検算、具体的な誤答まで説明しています。 2023年度第4問は前節の不整合があるため、表示された行列の計算を収録し、意図された訂正を特定できない範囲を明記しています。問題本文・原図は収録していません。修士課程の数学レポートや口頭試問の対策教材ではありません。

演習では、1年度分を150分で解き、各小問について示せたこと、方針だけ書けたこと、手が付かなかったことを分けて記録します。止まった小問は解説の方針を読んでから、答案を閉じて証明を書き直してください。 2026・2027年度は公式の出題意図と見比べると、各小問で何を確かめる意図だったかを照合できます。理学院の他専攻の過去問は北大の理学院の公式過去問一覧から開けます。