北大 応用量子科学の院試過去問・解答｜2026年度応用数学の微分方程式

2026年度・応用数学の問1：微分方程式の全設問

応用量子科学系研究室群の公式問題2ページを解きます。変数分離、変数の置き換え、完全微分、定数係数方程式、積分因子を順に使います。CやC₁などは任意定数です。

問1（1–1）：y−x³y′=0

x≠0の区間でy′=y/x³です。yが0でない解ではdy/y=dx/x³を積分し、定数をまとめます。

C₁=0を含めれば零解も入ります。微分してx³y′=yを確認できます。x=0を含む場合は元の式からy(0)=0です。正側と負側で別々の定数を選び、0で接続する解もあるため、x=0をまたぐ一意性を通常の正規形から主張しないようにします。

問1（1–2）：y′=(y−x)/(y−x−1)

u=y−xと置くとy′=u′+1です。式の分母からu≠1が必要です。

積分すると(u−1)²=2x+Cです。従って、

根号内が0となる点では元の式の分母も0になります。その点を解の定義域に含めません。

問1（1–3）：完全微分の形を見つける

方程式を(2x−3y+1)dx+(−3x+4y−2)dy=0と書きます。dxの係数をyで微分しても、dyの係数をxで微分しても−3なので、完全微分です。

g(y)=2y²−2yと取れます。解を陰関数の形で書けば、

この式をxで微分すると元の方程式に戻ります。y′の係数で割らずに求めたので、割り算による解の取りこぼしも避けられます。

問1（1–4）：3重根をもつ特性方程式

y‴−3y″+3y′−y=0にy=eʳˣを代入すると、特性方程式は(r−1)³=0です。3つの独立な解はeˣ、xeˣ、x²eˣです。

y=eˣvと置けば、元の左辺はeˣv‴になります。従ってvが2次以下の多項式であることからも確かめられます。

問1（1–5）：多項式と三角関数の特解を足す

y″−3y′+2y=4x²+10sinxの同次解はC₁eˣ+C₂e²ˣです。多項式の特解をax²+bx+cと置き、係数を比較するとa=2、b=6、c=7です。三角関数の特解をA sinx+B cosxと置くと、

A=1、B=3なので、一般解は次の通りです。

特解を微分して代入すると、多項式部分は4x²、三角関数部分は10sinxをそれぞれ再現します。

問1（2）：積分因子の公式を導く

y′+P(x)y=Q(x)の両辺にI(x)=exp(∫P(x)dx)を掛けます。I′=PIなので、左辺が積の微分になります。

両辺を積分してIで割れば、求める一般解です。P・Qが連続な区間内で計算します。

指数関数であるIは0にならないため、ここでの割り算で解は失われません。不定積分の定数は最後のCへまとめられます。

問1（3）：eˣとxを解にもつ2階方程式

Aeˣ+Bx=0が区間全体で成立すると仮定し、2回微分するとAeˣ=0なのでA=0、続いてB=0です。従って2つの関数は線形独立です。y″+P(x)y′+Q(x)y=0にそれぞれ代入すると、

x≠1ではP=−x/(x−1)、Q=1/(x−1)です。分母を払うと、

eˣとxを直接代入すると、どちらもこの式を満たします。Wronskianはeˣ(1−x)で、x=1では0ですが、そこで最高階微分の係数も0になっています。正規形の係数が連続であるという前提を外して、1点のWronskianが0だから従属だと判断してはいけません。