北大 理学院 数学専攻（博士後期課程） 数学 院試過去問の解答・解説集

北大 数学の設問の主題と、解説で扱う内容を実施回ごとにまとめています。 微分積分・解析は以下の6回すべてで扱っています。

1. 2027年度解説4項目実行列の固有値と不変な直線・平面／境界へ集中する関数列と一様収束／閉包の一点を加えた集合と振動するグラフ／連続写像の貼り合わせと直積・道の関係

   • 第1問 線形代数実行列の固有値と不変な直線・平面
   • 第2問 微分積分・解析境界へ集中する関数列と一様収束
   • 第3問閉包の一点を加えた集合と振動するグラフ
   • 第4問連続写像の貼り合わせと直積・道の関係

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2. 2026年度解説4項目非実固有値を持つ実二次行列／対数関数列の一様収束と積分の極限／自然数の初期区間が定める位相／虚部から正則関数を復元し留数を計算する

   • 第1問 線形代数非実固有値を持つ実二次行列
   • 第2問 微分積分・解析対数関数列の一様収束と積分の極限
   • 第3問自然数の初期区間が定める位相
   • 第4問 微分積分・解析虚部から正則関数を復元し留数を計算する

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3. 2025年度解説4項目基底で指定する線形写像と階数の評価／振動を伴う関数の連続性と微分可能性／稠密な部分集合を一点に縮める商空間／座標変換による調和性と二重積分

   • 第1問 線形代数基底で指定する線形写像と階数の評価
   • 第2問 微分積分・解析振動を伴う関数の連続性と微分可能性
   • 第3問稠密な部分集合を一点に縮める商空間
   • 第4問 微分積分・解析座標変換による調和性と二重積分

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4. 2024年度解説4項目内積に関する対称性と像・核の分解／有界係数の冪級数と一様な尾部の評価／コンパクト性と連結性の開集合による証明／最小二乗関数の勾配と二階微分

   • 第1問内積に関する対称性と像・核の分解
   • 第2問 微分積分・解析有界係数の冪級数と一様な尾部の評価
   • 第3問 位相・幾何コンパクト性と連結性の開集合による証明
   • 第4問 微分積分・解析最小二乗関数の勾配と二階微分

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5. 2023年度解説4項目・一部に資料制約あり線形写像の座標と行列の可換条件／コンパクト距離空間の可算性と一様連続性／正項級数の比による比較と条件収束／二次形式の流れと原題の対称性の不整合

   • 第1問 線形代数線形写像の座標と行列の可換条件
   • 第2問 位相・幾何コンパクト距離空間の可算性と一様連続性
   • 第3問 微分積分・解析正項級数の比による比較と条件収束
   • 第4問二次形式の流れと原題の対称性の不整合

     一部の確定答案なし。原題冒頭の実対称という条件と、表示行列の二つの成分の符号が一致しません。表示行列そのものの固有値・二次形式の最大値と最大点は解答していますが、意図された対称行列の訂正を一つに決めた答案は収録していません。設問(1)の一般の実対称行列の証明も収録しています。

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6. 2022年度解説4項目像と核が等しい線形写像の基底／原点の極限・積分の極限・対数の級数／補有限位相の連結性・コンパクト性・稠密性／行列指数関数の収束・連続性と行列式

   • 第1問 線形代数像と核が等しい線形写像の基底
   • 第2問 微分積分・解析原点の極限・積分の極限・対数の級数
   • 第3問 位相・幾何補有限位相の連結性・コンパクト性・稠密性
   • 第4問 線形代数行列指数関数の収束・連続性と行列式

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