北大 理学院 数学専攻（博士後期課程） 数学 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（解説4項目）

設問(1)　関係式に線形写像を作用させる

ベクトルの組が一次独立であるとは、その線形結合が0になるとき全ての係数が0に限られるという条件である。$a_i$ の組が基底なのは像の中であり、$b_i$ を加えた組の独立性は別に示す必要がある。

本問では $T$ を作用させると $a_i$ は消え、$b_i$ は $a_i$ へ移る。関係式から片方の係数だけを取り出せる構造になっている。ここで $a_i$ が消える理由は、像と核が等しいという仮定である。像のベクトルが一般に核にも入るわけではない。

係数を求める順序にも意味がある。まず $\beta_i=0$ を示し、それを元の式に戻して $\alpha_i=0$ を示した。$T$ を作用させた式だけでは $\alpha_i$ の情報は全て消えているため、その式だけから全係数が0だと結論してはいけない。

例えば $r=1$、$V=\mathbb R^2$ で $T(x,y)=(y,0)$ と取ると、$a_1=(1,0)$、$b_1=(c,1)$ と任意の実数 $c$ を使って選べる。二本を列に並べた行列の行列式は1で、どの $c$ でも独立になる。$b_i$ の選び方が一意でなくても結論が変わらないことを確かめられる。

$b_i$ は $a_i$ の逆像だから一意、とするのは誤りである。$b_i$ に任意の核の元を加えても像は同じになる。上の例では $c$ がその自由度に当たる。また $Tb_i=a_i$ から $b_i$ も像に入るとすると、$b_i\in\ker T$ になって $Tb_i=0$ と誤ってしまう。像の元に逆像があることと、逆像自身が像に入ることは別である。

設問(2)　任意のベクトルを生成する

基底の条件は、一次独立であることと、空間全体を線形結合で生成することである。前問で前者を示したので、本問では任意の $v$ の表示を作った。基底の本数と次元を比較して済ませるには、先に空間の次元が分かっている必要がある。

原題の $V$ に有限次元性を先に仮定しなくても、この証明は成り立つ。像が有限の基底 $a_1,\ldots,a_r$ を持つことと、像と核が等しいことから、全空間が $2r$ 本で生成されると導いた。従って有限次元性も結論に含まれる。

構成ではまず $Tv$ を見て $b_i$ の係数 $c_i$ を決め、その分を引いた残りを核へ入れた。核が像と等しいので、残りを $a_i$ で書ける。この二段階は、写像によって見える成分と、写像では消えてしまう成分を分けて復元している。

例えば前問の $r=1$、$b_1=(c,1)$ の例で $v=(x,y)$ なら、$Tv=ya_1$ なので最初の係数は $y$。差 $v-yb_1=(x-cy,0)=(x-cy)a_1$ は核へ入り、$v=(x-cy)a_1+yb_1$ と表せる。生成性と係数の一意性を具体的に確認できる。

像と核の次元が等しいから、その二つの基底を合わせれば基底だ、とするのは誤りである。本問では像と核が同じ空間なので、そこから二組の基底を取るだけでは重複する。追加した $b_i$ は像の基底の逆像として選んだもので、前問の独立性の証明が必要になる。

設問(3)　基底の像を列に並べる

表現行列の第 $j$ 列は、第 $j$ 基底ベクトルの像を同じ基底で表した座標である。前半の $r$ 列は全て0。後半の $i$ 番目の列には、前半の $i$ 番目の成分だけ1が入り、他は0となる。このため右上の区画が単位行列になる。

座標を二つの $r$ 次元ベクトル $u,v$ に分けると、ベクトル $\sum_i u_i a_i+\sum_i v_i b_i$ の像は $\sum_i v_i a_i$。従って行列の作用は $(u,v)^{\mathsf T}\mapsto(v,0)^{\mathsf T}$ となり、上の表示と一致する。

二回作用させると $(u,v)\mapsto(v,0)\mapsto(0,0)$ だから $T^2=0$ となる。像と核はいずれも $\{(u,0):u\in\mathbb R^r\}$ で、仮定 $\operatorname{im}T=\ker T$ も表現行列から確認できる。階数は $r$、空間の次元は $2r$ なので階数・退化次数の関係とも整合する。

単位行列を左下へ置いた $\begin{pmatrix}0&0\\I_r&0\end{pmatrix}$ は、指定した順序では誤りである。これを $(u,0)$ に作用させると $(0,u)$ となり、$Ta_i=b_i$ を表してしまう。基底の順を $b_i$ 群、$a_i$ 群に入れ替えた場合の行列と混同してはいけない。

同じ冊子の2024年度第1問では、内積に関する別の仮定から像と核の共通部分が0になることを示した。本問では両者が等しく、一般には共通部分が $r$ 次元になる。線形写像というだけで像と核の関係が決まるわけではなく、与えられた条件に応じて異なる形になる。$r=0$ の場合は像も核も0で、$T=0$ と $\ker T=\{0\}$ から $V=\{0\}$ となり、空の基底という同じ結論に含まれる。