北大 理学院 数学専攻（博士後期課程） 数学 2027年度 院試 過去問 解答例・解説（解説4項目）

設問(1)　奇数次の特性多項式

固有値は、非零ベクトルの方向を保って作用する倍率である。定義 $Av=\lambda v$ は $$(\lambda E-A)v=0,\quad v\ne0 \quad\Longleftrightarrow\quad \ker(\lambda E-A)\ne\{0\}$$ と書ける。正方行列では、最後の条件は行列式が0となることに等しい。$v=0$ は全ての $\lambda$ で等式を満たすので、固有ベクトルの定義から除く。行列式の零点を探す議論と、非零の核ベクトルがあるという結論を結び付ける。

中間値の定理は、閉区間上で連続な実数値関数が両端の値の間を全て取るという定理である。ここでは連続なスカラー関数 $p$ の符号を調べた。最高次係数が1なので、$p(t)/t^3\to1$。ある $R$ より外ではこの比が正となり、$p(t)$ は $t^3$ と同符号になる。係数を全て計算したり、三次方程式の解の公式を使ったりせずに実根の存在を得られる。

保証したのは実固有値が少なくとも一つあることで、三つとも実数とは限らない。例えば $$A_0=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&2\end{pmatrix},\qquad \det(tE-A_0)=(t^2+1)(t-2)$$ では実固有値は2だけである。「実行列だから全固有値が実数」とすると、$t^2+1=0$ の二根 $\pm i$ を説明できない。実対称行列の固有値が全て実数になる定理には対称性という追加条件がある。

次数も条件に含まれる。この例の左上の二次行列だけなら $p(t)=t^2+1$ は常に正である。一般の奇数次実行列には上と同じ符号の議論を使えるが、偶数次へは移せない。三次であることを最初に用いた箇所が、無限遠での符号の違いである。

設問(2)　固有ベクトルが張る直線

部分空間 $L$ が不変とは $A(L)\subseteq L$、すなわちその中のどのベクトルも作用後に外へ出ないことである。$Aw=w$ を要求する条件ではない。また、像が $L$ 全体に一致する必要もない。固有値0の直線は全て0へ送られるが、0は直線に属するので不変性を満たす。

直線では生成ベクトル一つの行き先を確かめれば十分である。線形性により一般の元への作用が $A(cv)=cAv$ に決まるからである。固有方程式は生成ベクトルが同じ直線へ送られる条件そのものになっている。$c$ や $\lambda$ が負でも、向きが反転するだけで直線からは出ない。

任意に選んだベクトルでよいわけではない。例えば $A=\operatorname{diag}(1,2,3)$、$v=(1,1,0)^{\mathsf T}$ とすると $Av=(1,2,0)^{\mathsf T}$。これを $cv$ と書くには第1成分から $c=1$、第2成分から $c=2$ が必要となり、両立しない。この直線は不変でない。前問で得た「固有」ベクトルを選ぶことが必要である。

逆方向も確かめられる。実直線 $L$ が不変なら、その生成ベクトル $v\ne0$ に対して $Av\in L$ なので $Av=\lambda v$ となる実数がある。従って実一次元不変部分空間の存在と、実固有値の存在が対応する。高次元では内部で方向が混ざってもよく、全ての元が固有ベクトルになる必要はない。後の平面の構成ではこの違いを用いる。

設問(3)　核の次元から平面を取る

線形写像の核は0へ送られるベクトルの集合、像は出力として得られるベクトルの集合である。階数は像の次元であり、核の次元そのものではない。有限次元の定理は入力空間の次元が「核の次元＋像の次元」に分かれるという主張で、本問では核の次元が $3-1=2$ になる。

定理を基底から導いておく。核の基底 $k_1,\ldots,k_r$ を入力空間の基底へ拡張し、追加したベクトルを $u_1,\ldots,u_{3-r}$ とする。任意の入力をこの基底で表せば、核の成分は作用後に消えるので、$Nu_j$ は像を生成する。もし $\sum_j c_jNu_j=0$ なら $\sum_j c_ju_j$ が核に入り、ある係数で $k_i$ の結合とも表せる。拡張した基底の独立性から全ての $c_j$ が0となる。従って $Nu_j$ は像の基底で、$\operatorname{rank}N=3-r$ を得る。

次元だけでなく、元の $A$ に関する不変性も確かめる。核の定義 $(\lambda E-A)w=0$ はそのまま $Aw=\lambda w$ へ移せる。作用後も同じ核の中に留まり、さらにこの平面上では $A$ はスカラー $\lambda$ 倍として作用する。

例えば $\lambda=2$、$A=\operatorname{diag}(2,2,5)$ なら $N=\operatorname{diag}(0,0,-3)$。核は第3成分が0の平面で、$(x,y,0)^{\mathsf T}$ は $(2x,2y,0)^{\mathsf T}$ へ移る。階数と核の次元を取り違えて「核は一次元」とすると、$(1,0,0)^{\mathsf T}$ と $(0,1,0)^{\mathsf T}$ の二本が独立に核へ入る事実と矛盾する。

設問(4)　像を使えば固有ベクトル二本は不要

二つの線形写像が可換、すなわち $AN=NA$ なら、$N$ の像は $A$ で不変になる。出力 $Nu$ に $A$ を作用させたものを、入力を $Au$ に変えた $N$ の出力として書けるからである。本問の $N$ は $A$ の一次多項式なので可換性が成り立つ。行列の積は一般に可換ではないが、同じ一つの行列の多項式同士は可換である。

核を使う前小問の方法をそのまま続けると、階数2では核の次元は1となり、平面を得られない。ここでは入力側で消える方向から、出力側の二次元の広がりへ切り替えた。$A$ の実対角化や別の実固有値の存在は仮定しない。

例えば $$J=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad A=\lambda E-J$$ では $N=J$ の核は $\operatorname{span}\{e_1\}$、像は $\operatorname{span}\{e_1,e_2\}$。像の中では $Ae_1=\lambda e_1$、$Ae_2=\lambda e_2-e_1$ となり、$e_2$ が固有ベクトルでなくても平面は不変である。「二次元不変部分空間には独立な固有ベクトルが二本必要」とすると、この例を除いてしまう。

可換性を省いて任意の像が不変とするのも誤りである。$N=\operatorname{diag}(1,1,0)$ の像に $e_1$ は入るが、$Ae_1=e_3$ とする行列では像の外へ送られる。本問で $N=\lambda E-A$ という関係を使った箇所が、$AN=NA$ の等式である。

固有値 $\lambda$ に対して $N$ は特異なので階数3はない。階数0なら $A=\lambda E$ で任意の平面が不変となる。階数1、2をそれぞれ核と像で扱えば、実三次行列には実不変直線と実不変平面がともに存在すると分かる。