北大 理学院 数学専攻（博士後期課程） 数学 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（解説4項目）

設問(1)　共役な固有値と行列式の符号

正方行列の固有値とは、非零ベクトル $z$ に対して $Az=\lambda z$ となる数である。これは $(\lambda E-A)z=0$ が非零解を持つ条件であり、行列式が0になることに等しい。本問は実行列だが、固有値と固有ベクトルを複素数まで広げて考えている。実数成分だけに制限すると非実固有値を扱えない。

実係数多項式で根が共役な対をなすのは、複素共役が加法・乗法を保ち、実係数を変えないためである。係数を $c_j\in\mathbb R$ とすれば $$\overline{\sum_jc_j\lambda^j}=\sum_jc_j\overline\lambda^{\,j}$$ となる。零の共役も零なので、一方の根から他方が得られる。$b\ne0$ が二根を異なるものにし、二次多項式の根をこれで全て列挙できる。

行列式は固有値の積になるが、その性質を暗記していなくても、特性多項式の定数項を比較すればよい。二次行列では $\det(-A)=(-1)^2\det A$ である。$a^2+b^2$ は非実固有値の絶対値の二乗 $|\lambda|^2$ に等しい。非実である以上 $b^2>0$ だから、正の符号は $a$ の符号によらない。

例えば $A=\begin{pmatrix}0&-2\\2&0\end{pmatrix}$ は固有値 $2i,-2i$ を持ち、行列式は4である。二根の積を $\lambda^2=(2i)^2=-4$ とするのは誤りで、一方を共役にしなければ符号が逆になる。また $\det A>0$ から実対称行列の正定値性は結論できない。この例の固有値は実数でなく、正定値性に必要な対称性もない。

設問(2)　実ベクトルが固有ベクトルになれない理由

複素ベクトルの等式は、各成分で実部と虚部がそれぞれ等しいという意味を持つ。実行列を実ベクトルに作用させれば出力も実ベクトルになる。しかし非実数を非零実ベクトルに掛けると、少なくとも一つの成分に非零の虚部が生じる。この二つが同じ出力にはなれないことを使った。

零ベクトルは例外的に $A0=\lambda0$ をどの $\lambda$ に対しても満たす。固有ベクトルから零を除くのは、この例外を除いて行列の作用する方向を表すためである。証明では $v=0$ に到達した時点で「解がある」とせず、非零という定義と照合する。

前小問の行列なら、$v=(s,t)^{\mathsf T}\in\mathbb R^2$ に対する $Av=2iv$ は $$-2t=2is,\qquad 2s=2it$$ となる。実虚を比べると $s=t=0$ だけである。一方、複素ベクトル $z=(1,-i)^{\mathsf T}$ は実際に $Az=2iz$ を満たす。結論は固有ベクトルが存在しないことではなく、非実固有値に対しては実数成分だけに選べないことである。

実部だけを取って $Av=av$ とし、$a$ を実固有値だとするのも誤りである。複素固有方程式のベクトル自体が複素数なら、実部を取る際に虚部同士の積も入る。次小問の $Au=au-bw$ が正しい等式であり、$-bw$ を落とすと、例えば上の回転行列に実固有値0があるという誤った結論になる。実際の行列式4とは両立しない。

設問(3)　固有ベクトルの実部と虚部を基底にする

実数上の基底変換とは、同じ線形写像を別の実基底で表すことである。$P$ の各列を新しい基底とすれば、新しい座標 $\xi$ のベクトルは元の座標で $P\xi$。作用後は $AP\xi$ となり、新しい座標へ戻すと $P^{-1}AP\xi$ になる。相似変換の $P^{-1}$ を左側に置く理由がここにある。

基底候補の独立性には注意を要する。$u\ne0,w\ne0$ だけでは二本が基底とは限らない。本解答は、従属なら $u=\alpha r,w=\beta r$、$\alpha,\beta\in\mathbb R$ と書き、$z=(\alpha+i\beta)r$ が実固有ベクトルを生むことを示した。$z\ne0$ なので $\alpha+i\beta\ne0$。割り算の条件も満たす。

新しい行列の第1列は $Au=au-bw$ の座標、第2列は $Aw=bu+aw$ の座標である。従って左下は $-b$、右上は $b$ になる。実虚分離を行として並べて $\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$ とするのは、この基底の並びでは誤りである。$P=(u\ {-w})$ と基底を同時に変えればその形にもなるが、式(1)と列の取り方を一致させる必要がある。

結果の特性多項式は $(t-a)^2+b^2$、行列式は $a^2+b^2$ で、設問(1)と一致する。この行列は $\sqrt{a^2+b^2}$ 倍と回転を組み合わせた作用として読める。ただし元の座標からの変換 $P$ は一般に直交行列ではない。例えば $A=\begin{pmatrix}0&-2\\1/2&0\end{pmatrix}$ では $z=(1,-i/2)^{\mathsf T}$、$P=\operatorname{diag}(1,-1/2)$ を使えるが $P^{\mathsf T}P\ne E$。任意の実行列に直交変換で同じ形を要求すると、この例を扱えなくなる。