北大 理学院 数学専攻（博士後期課程） 数学 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（解説4項目）

設問(1)　像と核の共通部分

線形写像 $T:V\to V$ の像と核は、それぞれ $$\operatorname{im}T=\{Tx:x\in V\},\qquad \ker T=\{z\in V:Tz=0\}$$ で定義される部分空間である。共通部分の元には、像の表示 $z=Tx$ と核の式 $Tz=0$ を同時に使える。この二つを内積の両側へ組み込むのが、本問の仮定を使う場所になる。

実内積の正定値性は、$(z,z)\ge0$、かつ等号が $z=0$ のときに限るという性質である。従って任意に取った共通部分の元の長さの二乗を0と示せば、共通部分に非零ベクトルがないことを証明できる。$\alpha$ で割らなかったため、$\alpha=0$ も同じ証明に含まれる。

より広く $w\in\ker T$、$v=Tx\in\operatorname{im}T$ と取ると $$(w,v)=(w,Tx)=\alpha(Tw,x)=0.$$ つまり像と核は直交する。直交する二つの部分空間の共通部分に $z$ があれば、$z$ は自分自身にも直交し、$\|z\|^2=0$ となる。上の解答はこの性質を共通部分の元に直接適用した形である。

一般の線形写像についても像と核の共通部分は0だ、とするのは誤りである。例えば標準内積を持つ $\mathbb R^2$ の行列 $$J=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$$ では $\operatorname{im}J=\ker J=\operatorname{span}\{(1,0)^{\mathsf T}\}$。共通部分は一次元になる。この行列は本問の内積関係を満たさない。実際 $x=e_1,y=e_2$ では $(x,Jy)=1$ なのに、$\alpha(Jx,y)=0$ であり、どの $\alpha$ でも矛盾する。像と核の結論には仮定が働いている。

設問(2)　二回作用させたときの核

合成写像 $T^2=T\circ T$ の核は、二回作用させると0になるベクトルの集合である。一回で0になるベクトルは必ず二回でも0になるので、一方向の包含は全ての線形写像で成り立つ。逆方向には本問の内積関係から得た結論が要る。

二回で0になる条件を読む際は、中間のベクトル $Tx$ を取り出す。そのベクトルは一回目の出力なので像に入り、次の作用で0になるので核にも入る。共通部分が0という設問(1)が、中間ベクトルそのものを0と決める。

$T^2x=0$ を数の積のように扱って、ただちに $Tx=0$ と約分することはできない。前問の行列 $J$ は $J^2=0$ だが $Je_2=e_1\ne0$。従って一般には $\ker J^2=\mathbb R^2$、$\ker J=\operatorname{span}\{e_1\}$ と異なる。本問ではこのような、像の非零ベクトルが核へ落ちる挙動を内積関係が排除している。

確認の例として $T=\operatorname{diag}(2,0)$、$\alpha=1$ を取ると、$T^2=\operatorname{diag}(4,0)$ で、どちらの核も第二座標軸になる。$T=0$ の場合は両方の核が全空間となり、同じ結論が成り立つ。非零写像や可逆写像という追加条件は置いていない。

設問(3)　二回作用させたときの像

階数・退化次数の定理は、有限次元空間からの線形写像について $$\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T$$ と述べる。核の基底を $V$ の基底へ拡張すると、追加した基底ベクトルの像が像空間の基底になるため、この本数の関係が得られる。$T,T^2$ の定義域が同じ $V$ で、核の次元も同じなので、像の次元が一致する。

包含する二部分空間 $U\subseteq W$ が有限で同じ次元なら $U=W$。もし $w\in W\setminus U$ があれば、$U$ の基底に $w$ を加えた組は独立になり、$\dim W\ge\dim U+1$ と矛盾する。次元の式だけでなく、最初の像の包含もこの段階で使っている。

別の導出として、設問(1)と階数・退化次数の定理から $V=\ker T\oplus\operatorname{im}T$ と分解できる。任意の $Tx$ に対して $x=k+Tu$ と書けば、$Tk=0$ だから $Tx=T^2u$。従って逆の包含も直接得られる。どちらの証明にも有限次元という条件を残してある。

同じ次元だから像が等しい、と包含を示さずに結ぶのは誤りである。$\mathbb R^2$ の二つの座標軸はどちらも一次元だが等しくない。また一般の写像では、前の反例 $J$ について $\operatorname{im}J^2=\{0\}$ と $\operatorname{im}J=\operatorname{span}\{e_1\}$ が異なる。核の一致を通して仮定を反映させた点が、この反例との違いになる。